Safe Control of Feedback-Interconnected Systems via Singular Perturbations

Titel: Veilige Besturing van Feedback-Geïnterconnecteerde Systemen via Singular Perturbaties

Auteurs: Stefano Di Gregorio, Guido Carnevale, Giuseppe Notarstefano (Universiteit van Bologna)

1. Probleemstelling

Moderne autonome systemen, zoals robotica en geïntegreerde fysiek-algoritmische systemen, bestaan vaak uit complexe feedback-lussen waarbij subsystemen op verschillende tijdschalen evolueren. Voorbeelden zijn:

• De interactie tussen elektrische en mechanische componenten in robots (elektrische dynamiek is veel sneller dan mechanische dynamiek).
• De koppeling tussen een fysiek proces en een online optimalisatie-algoritme dat de besturing bepaalt.

De kernuitdaging is het garanderen van veiligheid (het voldoen aan veiligheidsbeperkingen) in deze geïnterconnecteerde systemen. Traditionele methoden voor het ontwerpen van Control Barrier Functions (CBF's) worden onpraktisch of onmogelijk naarmate de complexiteit van de dynamiek toeneemt, vooral wanneer de besturingsinput niet direct de veiligheidsbeperking beïnvloedt (hoge relatieve graad) of wanneer de volledige dynamiek onbekend of te complex is.

Bestaande aanpakken voor gereduceerde modellen (waarbij men alleen naar het trage subsysteem kijkt) bieden geen formele waarborgen voor de veiligheid van het volledige systeem, omdat ze de snelle dynamiek en de tijdsvertragingen negeren. Er ontbreekt een systematisch raamwerk om een veiligheidscertificaat dat is ontworpen voor een gereduceerd model, formeel te "lift" (over te brengen) naar het volledige, niet-lineaire, feedback-geïnterconnecteerde systeem.

2. Methodologie

De auteurs ontwikkelen een formeel raamwerk gebaseerd op de theorie van singular perturbaties (tijdschaalseparatie). Het doel is om een veiligheidsbewijs voor een gereduceerd model te gebruiken om de veiligheid van het volledige systeem te garanderen, mits er een voldoende scheiding is tussen de snelle en trage dynamiek.

Het Systeemmodel:
Het systeem wordt gemodelleerd als een koppeling van een traag subsysteem ($x$) en een snel subsysteem ($z$), met een parameter $\epsilon > 0$ die de tijdschaal scheiding regelt:
$$\dot{x} = f(x, z, u)$$
$$\epsilon \dot{z} = g(z, x, u)$$
Waarbij $x$ de trage toestand is en $z$ de snelle toestand.

De Aanpak:

1. Gereduceerd Model: Er wordt aangenomen dat er voor het trage subsysteem een veiligheidsbewijs (een CBF, $h(x)$) bestaat dat werkt op het manifold waar het snelle subsysteem in evenwicht is ($z = z_{eq}(x, u)$).
2. Boundary Layer Systeem: Het gedrag van het snelle subsysteem wordt geanalyseerd wanneer de trage toestand $x$ en de input $u$ als constant worden beschouwd. Dit vereist dat het snelle subsysteem exponentieel stabiel is rond het evenwichtspunt.
3. Composite CBF: De auteurs construeren een nieuwe, samengestelde Control Barrier Function $V(x, z)$ die zowel de veiligheid van het trage systeem als de stabiliteit van het snelle systeem combineert:
   $$V(x, z) := h(x) - U(z - z_{eq}(x, \pi(x)))$$
   Hierbij is $U$ een Lyapunov-functie voor het boundary layer-systeem (het snelle subsysteem).
4. Voorwaarde voor Veiligheid: De auteurs bewijzen dat als $\epsilon$ klein genoeg is (d.w.z. de snelle dynamiek is veel sneller dan de trage), de verzameling waar $V(x, z) \geq 0$ voorwaarts invariant is. Dit betekent dat het systeem veilig blijft, zelfs als het snelle subsysteem nog niet volledig in evenwicht is, zolang de afwijking binnen de "veiligheidsmarge" ($\eta$) van het gereduceerde ontwerp valt.

3. Belangrijkste Bijdragen

• Formeel Raamwerk: Het is het eerste werk dat een formele methode biedt om CBF's van gereduceerde modellen te extrapoleren naar volledige feedback-geïnterconnecteerde systemen met gebruikmaking van singular perturbatie-theorie.
• Voldoende Voorwaarden: De paper levert strikte wiskundige voorwaarden (Assumpties 1-4) waaronder de veiligheid van het gereduceerde model de veiligheid van het volledige systeem garandeert.
• Computationele Efficiëntie: De online veiligheidsfilter (de CBF-QP) hoeft alleen te worden opgelost voor het laagdimensionale, gereduceerde model. Dit vermindert de rekenlast aanzienlijk, terwijl er toch formele veiligheidsgaranties zijn voor het volledige systeem.
• Robuustheid: De methode maakt gebruik van een veiligheidsmarge ($\eta$) in het ontwerp van het gereduceerde model om de verstoringen veroorzaakt door de niet-perfecte tijdschaalseparatie op te vangen.

4. Resultaten en Validatie

De theorie wordt gevalideerd via twee numerieke simulaties:

1. Robotarm met Motor-dynamiek:

   • Scenario: Een 2-DoF robotarm waarbij de mechanische dynamiek (trage) gekoppeld is aan de elektrische motor-dynamiek (snel).
   • Resultaat: De veiligheidsfilter werd ontworpen voor de gereduceerde mechanische dynamiek. Simulaties tonen aan dat voor kleine waarden van $\epsilon$ (snelle elektrische dynamiek) de robot veilig blijft binnen de opgelegde grenzen (obstakels en joint-limits). Zodra $\epsilon$ een kritieke drempel overschrijdt (de tijdschaal scheiding is niet groot genoeg), treden er veiligheidsviolaties op.

2. Suboptimale Veilige Besturing:

   • Scenario: Een fysiek proces dat wordt aangestuurd door een optimalisatie-algoritme dat een veiligheidsbeperking probeert op te lossen. Het algoritme convergeren niet direct, maar evolueert in de tijd.
   • Resultaat: De methode toont aan dat een suboptimale aanpak (waarbij de oplossing van het optimalisatieprobleem niet direct beschikbaar is, maar dynamisch wordt benaderd) veilig blijft, zolang de convergentiesnelheid van het algoritme (bestuurd door $\epsilon$) voldoende hoog is ten opzichte van de plant-dynamiek.

In beide gevallen bevestigen de simulaties de theoretische voorspelling: veiligheid is gegarandeerd zolang de tijdschaalseparatie ($\epsilon$) onder een bepaalde kritieke waarde blijft.

5. Betekenis en Impact

Deze paper is significant voor het veld van de veilige besturing (safe control) omdat het een brug slaat tussen de theorie van singular perturbaties (traditioneel gebruikt voor stabiliteitsanalyse) en moderne veiligheidsgerichte controle (CBF's).

• Praktische Toepasbaarheid: Het maakt het mogelijk om complexe systemen (zoals robots met actuatoren of systemen met ingebouwde optimalisatie) veilig te besturen zonder de volledige, hoge-dimensionale dynamiek in de online controller te hoeven modelleren.
• Ontwerpvereenvoudiging: Ingenieurs kunnen zich concentreren op het ontwerpen van veiligheidsfilters voor het "kern" (trage) systeem, wat de complexiteit van de implementatie drastisch verlaagt.
• Fundamenteel Inzicht: Het biedt inzicht in hoe de snelheid van interne dynamiek (zoals actuatorrespons of algoritme-convergentie) direct invloed heeft op de mogelijkheid om veiligheidsbeperkingen te garanderen.

Kortom, de auteurs bieden een wiskundig onderbouwde methode om de veiligheid van complexe, gekoppelde systemen te garanderen door gebruik te maken van hun inherente tijdschaal-structuur.