Neural Prime Sieves: Density-Driven Generalization and Empirical Evidence for Hardy-Littlewood Asymptotics

Titel: Neural Prime Sieves: Dichtheidsgedreven Generalisatie en Empirisch Bewijs voor Hardy-Littlewood Asymptotiek

Auteur: Manik Kakkar (Johns Hopkins University)
Publicatiedatum: 1 april 2026 (arXiv)

---

1. Probleemstelling en Motivatie

Het artikel adresseert een fundamenteel probleem in de computationele getaltheorie: het identificeren van specifieke families van priemgetallen (zoals tweelingpriemen, Sophie Germain-priemen, Chen-priemen, enz.) binnen een stroom van bekende priemgetallen.

• Huidige beperkingen: Klassieke zeefmethoden (zoals het zeven van Eratosthenes) elimineren samengestelde getallen maar wijzen geen waarschijnlijkheidsgewichten toe aan overgebleven kandidaten. Bestaande machine-learningbenaderingen voor het voorspellen van priemgetallen zijn fundamenteel beperkt door de algoritmische willekeur van de priemindicatorreeks; ze presteren nauwelijks beter dan toeval, vooral bij grote schalen.
• Specifiek doel: De auteurs willen onderzoeken of een diep residuaal netwerk, getraind uitsluitend op causale kenmerken (d.w.z. zonder kennis van het volgende priemgetal), betrouwbare probabilistische filters kan leren voor zeven verschillende priemfamilies.
• De uitdaging: Het model moet generaliseren naar schalen die negen ordes van grootte buiten het trainingsbereik liggen (trainen op $10^7$ tot $10^9$, evalueren tot $10^{16}$), zonder expliciete toegang tot de asymptotische formules van Hardy-Littlewood.

2. Methodologie

2.1 Dataverzameling en Kenmerkrepresentatie

Het model, genaamd PRIMEFAMILYNET, wordt getraind op 200.000 gelabelde priemgetallen in het bereik $[10^7, 10^9]$.

• Causale Kenmerken: Het model gebruikt strikt causale input, wat betekent dat het alleen kijkt naar het verleden van het priemgetal $p$ en nooit naar het volgende priemgetal $p+$.
  • Primoriale resten: Resten van $p$ modulo kleine primorialen (6, 30, 210, 2310). Deze coderen de structurele beperkingen van priemconstellaties.
  • Terugwaartse gap: De afstand tot het vorige priemgetal ($g_- = p - p_-$).
  • Andere kenmerken: Resten modulo kleine priemgetallen, schaal-indicatoren (logarithmisch) en cijferkenmerken.
• Niet-causale controlemode: Een controlemoedel krijgt ook de voorwaartse gap ($g_+$) als input. Dit dient als een theoretische bovengrens voor voorspellingsprestaties en kwantificeert de "kost van causaliteit".

2.2 Netwerkarchitectuur

• Architectuur: Een multi-head residuale MLP (Multi-Layer Perceptron) met 1,25 miljoen parameters.
• Structuur: Drie stadia: input-projectie naar 512 dimensies, twee gestapelde residuale blokken, en een verdikking naar een gedeelde embedding van 128 dimensies.
• Output: Zeven onafhankelijke sigmoid-uitgangen (één per priemfamilie) die de waarschijnlijkheid van lidmaatschap voorspellen.
• Trainingsdoel: Het voorspellen van lidmaatschap voor zeven families:
  1. Tweelingpriemen (Twin)
  2. Vriendelijke priemen (Cousin)
  3. Sexy priemen (Sexy)
  4. Isolated priemen (Isolated: geen tweeling)
  5. Sophie Germain priemen
  6. Veilige priemen (Safe)
  7. Chen priemen

2.3 Verliesfuncties

Er werd een systematische vergelijking uitgevoerd tussen drie verliesfuncties om omgang met onbalans in klassen te optimaliseren:

1. Gewogen Binary Cross-Entropy (wBCE): Weegt positieve voorbeelden op basis van hun frequentie.
2. Focal Loss: Onderdrukt goed geclassificeerde voorbeelden.
3. Asymmetric Loss (ASL): Schept de focus voor positieve en negatieve voorbeelden en onderdrukt makkelijke negatieven.

3. Belangrijkste Resultaten

3.1 Monotone Generalisatie van Isolated Priemen (Kernbevinding)

De meest opvallende bevinding is dat de recall (terugvinding) voor isolated priemen monotoon stijgt naarmate de schaal toeneemt, van 0,809 bij $5 \times 10^8$ tot 0,984 bij $10^{16}$.

• Betekenis: Dit is de enige familie die verbetert op grotere schalen. Dit komt overeen met de Hardy-Littlewood-asymptotiek, die voorspelt dat de dichtheid van tweelingpriemen afneemt ($1/(\log N)^2$) terwijl de totale dichtheid van priemgetallen langzamer afneemt ($1/\log N$). Hierdoor wordt het aandeel van "geïsoleerde" priemen (die geen tweeling zijn) groter.
• Waarom is dit belangrijk? Omdat recall een ratio binnen de positieve klasse is, is het formeel invariant voor de prevalentie van de klasse. De verbetering is dus geen artefact van het toenemende aantal geïsoleerde priemen, maar bewijst dat het model de besluitgrens (decision boundary) scherper leert trekken naarmate de achtergronddichtheid verandert. Het model heeft dit geleerd zonder expliciete dichtheidslabels.

3.2 Causaliteit vs. Niet-Causaliteit

• Voor de meeste families (zoals tweelingpriemen) presteert het niet-causale model (met $g_+$) beter, wat logisch is omdat $g_+=2$ direct bevestigt dat het een tweeling is.
• Uitzondering: Chen-priemen. Het causale model presteerde beter dan het niet-causale model op alle schalen, met een voorsprong die groeide tot +0,245 bij $10^{16}$.
  • Reden: De voorwaartse gap $g_+=2$ geeft alleen informatie over het geval waar $p+2$ een priemgetal is. Chen-priemen vereisen echter dat $p+2$ een priemgetal of een semipriem is. De causale primoriale resten coderen beide gevallen effectiever dan de simpele gap.

3.3 Verliesfunctie Vergelijking

• Focal Loss: Leefde tot een catastrofale ineenstorting van de recall voor zeldzame algebraïsche families (Sophie Germain en Safe priemen bereikten 0,000).
• Asymmetric Loss (ASL): Presteerde uitstekend binnen de trainingsdistributie (in-distribution), maar degradeerde sterk bij out-of-distribution (OOD) generalisatie, vooral voor families die afhankelijk zijn van lineaire transformaties.
• Gewogen BCE (wBCE): Bleek het meest robuust voor generalisatie over schalen, hoewel het binnen de trainingsdistributie soms iets minder goed presteerde dan ASL.

3.4 Robuustheid

De resultaten waren zeer stabiel over drie verschillende random seeds (variatie in recall < 0,007 binnen de distributie), wat aangeeft dat het model structurele eigenschappen van de getaltheorie heeft geleerd in plaats van toevallige patronen in de trainingsdata te memoriseren.

4. Bijdragen en Betekenis

1. Empirisch Bewijs voor Hardy-Littlewood: Dit is het eerste machine-learning-experiment dat empirisch bevestigt dat een data-gedreven model, zonder toegang tot de asymptotische formules, de correcte dichtheidstrends van priemconstellaties (zoals de afname van tweelingpriemen) automatisch leert en reproduceert.
2. Causale Generalisatie: Het bewijst dat deep residual networks kunnen generaliseren over negen ordes van grootte ($10^9 \to 10^{16}$) puur op basis van strikt causale, schaal-invariante kenmerken (primoriale resten).
3. Inzicht in Verliesfuncties: Het artikel waarschuwt dat hoge recall binnen de trainingsdistributie (in-distribution) een misleidend criterium kan zijn voor schaal-generalisatie. Verliesfuncties die te agressief de gradienten manipuleren (zoals Focal Loss en ASL) kunnen leiden tot fragiele modellen bij schuivende distributies.
4. Nieuwe Benadering voor Priemtheorie: Het biedt een nieuwe, datagedreven methode om priemtheorie te benaderen, waarbij het model de "zeef" (sieve) effectief nabootst en de grenzen van priemgetallen leert definiëren op basis van modulariteit.

Conclusie

Het artikel toont aan dat PRIMEFAMILYNET niet alleen priemgetallen kan filteren, maar ook de onderliggende wiskundige structuren (de Hardy-Littlewood-asymptotiek) heeft geïnternaliseerd. De stijgende recall voor geïsoleerde priemen en de superieure prestaties voor Chen-priemen met causale kenmerken vormen sterke bewijzen dat het model echte wiskundige patronen heeft geleerd, in plaats van statistische correlaties te memoriseren. Dit opent de deur voor toekomstig onderzoek naar schaal-adaptieve training en het toepassen van deze methoden op andere complexe getaltheoretische problemen.