Joint extreme values of Dirichlet (L)-functions and their logarithmic derivatives

Titel: Gezamenlijke extreme waarden van Dirichlet L-functies en hun logaritmische afgeleiden

Auteur: Shengbo Zhao (Tongji Universiteit, Shanghai)

---

1. Het Probleem

Het artikel richt zich op het bestuderen van de extreme waarden van Dirichlet L-functies, $L(s, \chi)$, en hun logaritmische afgeleiden, $L'/L(s, \chi)$, binnen het kritieke stripgebied ($\sigma \in [1/2, 1]$) en op de lijn $s=1$.

Specifiek onderzoekt de auteur gezamenlijke extreme waarden (joint extreme values). In plaats van alleen te kijken naar het maximum van een enkele L-functie voor een bepaald karakter $\chi$, onderzoekt het artikel de situatie waarin een reeks machten van een enkel Dirichlet-karakter, namelijk $\chi, \chi^2, \dots, \chi^\ell$, gelijktijdig extreme waarden aannemen.

• Context: Eerdere werken (zoals Aistleitner et al., 2019 en Yang, 2023) hebben extreme waarden voor individuele functies of specifieke lijnen bestudeerd.
• Doel: Bewijzen dat er een karakter $\chi$ bestaat zodanig dat het product van de waarden van $L(1, \chi^j)$ en $L(\sigma, \chi^j)$ (voor $j=1, \dots, \ell$) extreem groot is, en dit te doen voor zowel de functiewaarden als hun logaritmische afgeleiden.

2. Methodologie: De Resonantie-methode

De kern van de bewijstechniek is de resonantie-methode (resonance method), een krachtige techniek in de analytische getaltheorie die teruggaat op het werk van Voronin en Soundararajan, en later is verfijnd door Aistleitner, Bondarenko en Seip.

De methode verloopt als volgt:

1. Resonator-construktie: Er wordt een specifieke "resonator" $R(\chi)$ geconstrueerd, gedefinieerd als een product over kleine priemgetallen:
   $$R(\chi) = \prod_{p \le X} (1 - r(p)\chi(p))^{-1} = \sum_{n} r(n)\chi(n)$$
   waarbij $r(n)$ een volledig multiplicatieve functie is die is ontworpen om de waarden van de L-functies te maximaliseren.
2. Sommatie over karakters: De auteur definieert twee sommen over de groep van Dirichlet-karakters modulo $q$:
   • $S_1 = \sum_{\chi} |R(\chi)|^2$ (de norm van de resonator).
   • $S_2 = \sum_{\chi} \left( \prod_{j=1}^\ell L(\dots, \chi^j) \right) |R(\chi)|^2$ (de gewogen som).
3. Verhouding en Orthogonaliteit: Door de verhouding $S_2/S_1$ te analyseren en gebruik te maken van de orthogonaliteit van Dirichlet-karakters, wordt een ondergrens voor het product van de L-functies afgeleid. De orthogoniteit zorgt ervoor dat termen waarbij de argumenten van de karakters niet samenvallen, uit elkaar vallen, waardoor alleen de "diagonale" termen (waarbij $q$ een priemgetal is) significant bijdragen.
4. Nul-vrije gebieden en Benaderingen: Om de exacte waarden van de L-functies te benaderen door Dirichlet-polyomen, worden resultaten gebruikt over nul-vrije gebieden (zero-free regions) en dichtheidsresultaten voor nulpunten van Dirichlet L-functies. Dit garandeert dat de benaderingen geldig zijn voor de meeste karakters, behalve voor een verwaarloosbare verzameling van "uitzonderlijke" karakters.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

Het artikel levert vier hoofdstellingen die de bestaande literatuur uitbreiden naar het geval van meerdere machten ($\ell \ge 1$) van een karakter.

Stelling 1.1: Extreme waarden op $s=1$

Voor een vast geheel getal $\ell \ge 1$ en voldoende grote priemgetallen $q$, bestaat er een karakter $\chi$ met orde $> \ell$ zodanig dat:
$$\prod_{j=1}^\ell |L(1, \chi^j)| \ge e^{\ell\gamma} \left( (\log_2 q)^\ell + \ell(\log_3 q - C(\ell))(\log_2 q)^{\ell-1} + O((\log_2 q)^{\ell-2}(\log_3 q)^2) \right)$$
waarbij $C(\ell) = (\ell+1)/2 + \log_2 4$.

• Nieuwheid: Dit generaliseert het resultaat van Aistleitner et al. (2019) voor $\ell=1$. De secundaire term toont aan dat extreme waarden iets "gecomprimeerd" worden naarmate $\ell$ groeit door interacties tussen de machten.

Stelling 1.2: Extreme waarden in de kritieke strip ($\sigma \in (1/2, 1)$)

Voor $1/2 < \sigma < 1$ en vast $\ell$, bestaat er een karakter $\chi$ zodanig dat:
$$\prod_{j=1}^\ell |L(\sigma, \chi^j)| \ge \exp\left( (\kappa^{1-\sigma} S(\sigma, \ell) + o(1)) \frac{(\log q)^{1-\sigma}}{(\log_2 q)^\sigma} \right)$$
waarbij $S(\sigma, \ell)$ een expliciete constante is die een alternatieve binomiale som bevat.

• Observatie: De constante $S(\sigma, \ell)$. Groeit significant als $\sigma \to 1$, maar wordt onderdrukt als $\sigma \to 1/2$ door sterke annulering in de som.

Stelling 1.3: Extreme waarden van logaritmische afgeleiden op $s=1$

Voor de logaritmische afgeleiden $L'/L(1, \chi)$ wordt bewezen dat:
$$(-1)^\ell \text{Re} \prod_{j=1}^\ell \frac{L'}{L}(1, \chi^j) \ge (\log_2 q)^\ell + (\ell \log_3 q + Q(\ell))(\log_2 q)^{\ell-1} + \dots$$
waarbij $Q(\ell)$ een expliciete negatieve constante is die snel afneemt met $\ell$ ($Q(\ell) \sim -\ell \log \ell$).

• Betekenis: Dit verbetert eerdere resultaten van D. Yang (2023) door een explicietere secundaire term en een scherpere foutterm te geven.

Stelling 1.4: Extreme waarden van logaritmische afgeleiden in de kritieke strip

Voor $\sigma \in (1/2, 1)$ en $\ell < (2-2\sigma)^{-1}$, wordt een ondergrens gegeven voor het product van de logaritmische afgeleiden:
$$\left| \prod_{j=1}^\ell \frac{L'}{L}(\sigma, \chi^j) \right| \ge (\eta^{\ell(1-\sigma)} H(\sigma, \ell) + o(1)) (\log q)^{\ell(1-\sigma)} (\log_2 q)^{\ell(1-\sigma)}$$
waarbij $H(\sigma, \ell)$ een constante is die afhankelijk is van de Gamma-functie en de orde $\ell$.

• Beperking: De waarde van $\ell$ is beperkt door $(2-2\sigma)^{-1}$, wat vooral restrictief is als $\sigma$ dicht bij $1/2$ ligt.

4. Significatie en Implicaties

1. Structuur van Karaktergroepen: De resultaten suggereren dat Dirichlet-karakters die extreme waarden bereiken niet onafhankelijk zijn, maar onderhevig zijn aan een onderliggende multiplicatieve structuur. Extreme waarden treden gelijktijdig op binnen de machtsgeneratie van één enkel karakter, wat wijst op een sterke correlatie.
2. Verband met Nulpunten: Het bestuderen van gezamenlijke extreme waarden van logaritmische afgeleiden ($L'/L$) geeft inzicht in de clustering van nulpunten van L-functies. Als $L'/L$ extreem groot is, betekent dit dat de functies $L(s, \chi^j)$ gelijktijdig dicht bij nulpunten in dezelfde regio liggen.
3. Verfijning van Bestaande Schattingen: De paper verbetert de fouttermen en secundaire termen in eerdere werken van Aistleitner, Soundararajan en Yang, waardoor de asymptotische gedragingen preciezer worden beschreven.
4. Algebraïsche Interpretatie: Het onderzoek kan worden gezien als het bestuderen van de verdeling van L-functiewaarden onder de werking van de machtswaarde-mapping ($\chi \mapsto \chi^j$) op de multiplicatieve groep van karakters modulo $q$.

Conclusie

Shengbo Zhao slaagt erin om de theorie van extreme waarden van Dirichlet L-functies uit te breiden van individuele waarden naar gezamenlijke extreme waarden van een reeks machten van een karakter. Door de resonantie-methode te combineren met geavanceerde analyse van Dirichlet-polyomen en orthogonale eigenschappen, worden scherpe ondergrenzen bewezen voor zowel de functiewaarden als hun afgeleiden, zowel op de lijn $s=1$ als in de kritieke strip. Dit biedt nieuwe inzichten in de onderlinge afhankelijkheid van L-functies binnen een familie van karakters.