On the computation of base-change lifts and lifts of Hida families

Titel: Over de berekening van base-change lifts en lifts van Hida-families

Auteurs: Iván Blanco-Chacón, Luis Dieulefait, Antti Haavikko
Datum: April 2026 (voorgesteld)

---

1. Het Probleem

De kern van dit werk ligt binnen het programma van Langlands, specifiek het base-change probleem. Dit probleem stelt de vraag of een automorfe representatie $\pi$ van $GL_n$ over een getallichaam $F$, wanneer beperkt tot een extensie $L/F$, ook automorf is over $L$.

Hoewel de existentie van zulke "lifts" (base-change lifts) voor specifieke gevallen is bewezen (bijvoorbeeld door Langlands voor abelse extensies en door Arthur en Clozel voor oplosbare extensies), zijn deze bewijzen over het algemeen niet-constructief. Ze garanderen dat een lift bestaat, maar geven geen expliciete methode om de meetkundige objecten (zoals Hilbert-modulaire vormen) die bij deze lift horen te construeren, noch de bijbehorende Hecke-eigenwaarden.

De auteurs richten zich op twee specifieke lacunes:

1. Het ontbreken van een expliciete formule voor de Hecke-eigenwaarden van een base-change lift van een klassieke nieuwe vorm (newform) naar een willekeurig totaal reëel Galois-getallichaam.
2. Het ontbreken van een theorie voor base-change lifts van Hida-families (p-adische families van modulaire vormen), wat essentieel is voor het bestuderen van de automorfe eigenschappen van tensorproducten en symmetrische machten.

2. Methodologie

De auteurs combineren theorie van Galois-representaties, de theorie van modulaire vormen en expliciete berekeningen om de volgende stappen te doorlopen:

• Expliciete Formule voor Eigenwaarden: Ze generaliseren eerdere werk van Doi, Naganuma en Saito (die zich beperkten tot kwadratische of cyclische velden van priemgraad) naar elk totaal reëel Galois-getallichaam. Ze gebruiken de relatie tussen de Frobenius-elementen in de absolute Galois-groep van $\mathbb{Q}$ en die van de extensie $F$.
• Recursie en Sporen: Ze gebruiken een lemma dat de recursie voor de sporen van machten van matrices koppelt aan de Fourier-coëfficiënten van de modulaire vorm. Dit stelt hen in staat de trace van de Frobenius op de geïnduceerde representatie te berekenen.
• Constructie van Hida-families: Ze definiëren een base-change lift voor Hida-families door de expliciete formules voor de eigenwaarden toe te passen op de Iwasawa-coëfficiënten van de formele machtreeks die de Hida-familie definieert.
• L-function Factorisatie: Ze bewijzen een factorisatieformule voor de L-functie van de lift in termen van gedraaide L-functies van de oorspronkelijke vorm.
• Implementatie: Ze ontwikkelen pseudocode en implementeren deze algoritmen in het computeralgebrasysteem Magma om de theorie te verifiëren en concrete voorbeelden te genereren.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

A. Expliciete Formule voor Hecke-eigenwaarden (Theorema 3.1)

Voor een klassieke nieuwe vorm $f \in S_k(\Gamma_1(N), \chi)$ en een totaal reëel Galois-getallichaam $F$, geven de auteurs een formule voor de Hecke-eigenwaarde $C(\mathfrak{p})$ van de base-change lift $h$ op een priemideaal $\mathfrak{p} \subset \mathcal{O}_F$ boven een rationeel priemgetal $p$.

Laat $r = f(\mathfrak{p}|p)$ de residuale graad zijn. Dan geldt:
$$C(\mathfrak{p}) = \begin{cases} a(p) & \text{als } r = 1 \\ a(p^r) - \chi(p)p^{k-1}a(p^{r-2}) & \text{anders} \end{cases}$$
waarbij $a(n)$ de Fourier-coëfficiënten van $f$ zijn. Dit maakt het mogelijk om de lift expliciet te berekenen zonder de volledige ruimte van Hilbert-modulaire vormen te hoeven doorzoeken.

B. Factorisatie van L-functies (Theorema 4.1)

Voor een abelse extensie $F/\mathbb{Q}$ van graad $n$, bewijzen ze dat de L-functie van de lift $h$ factoriseert als een product van gedraaide L-functies van $f$:
$$L(h, s) = \prod_{i=0}^{n-1} L(f, s, \chi_i)$$
waarbij $\chi_i$ de Dirichlet-karakters geassocieerd met de extensie $F/\mathbb{Q}$ zijn. Dit geldt voor alle lokale Euler-factoren behalve een eindig aantal bij de niveaus.

C. Base-change van Hida-families (Theorema 5.3)

De auteurs definiëren en bewijzen het bestaan van een base-change lift voor een Hida-familie van $p$-ordinaire klassieke modulaire vormen naar een Hida-familie van Hilbert-modulaire vormen over $F$.

• Ze tonen aan dat de lift een formele machtreeks is die specialiseert tot de base-change lifts van de klassieke vormen in de familie.
• Dit resulteert in een Theorema 1.1: Voor elke $p$-ordinaire cuspidale Hecke-eigenvorm $f$ en elk totaal reëel Galois-getallichaam $F$, bestaat er een rij van gewichten $\{k_r\}$ zodat de Galois-representatie $\rho_{f,p}|_{G_F}$ een potentieel diagonaliseerbare automorfe lift toelaat met Hodge-Tate-gewichten $\{0, k_r-1\}$.

D. Verwijdering van Beperkingen

Een significante doorbraak is dat het gebruik van Hida-families het mogelijk maakt om de restrictie $p > \max\{k, 6\}$ en de voorwaarde dat de residuale representatie een groot beeld moet hebben, te verwijderen in het geval van $p$-ordinaire vormen. Dit generaliseert eerdere resultaten (zoals in [4] en [5]) naar een bredere context.

E. Algorithmische Implementatie

In Sectie 6 presenteren ze algoritmen (Algorithm 1 en 2) om de eigenwaarden te berekenen en de lift te identificeren. Ze demonstreren dit met voorbeelden in Magma, waaronder:

• Lifts naar $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$.
• Lifts naar de maximale totaal reële subvelden van cyclotomische velden (bijv. $\mathbb{Q}(\zeta_7)^+$ en $\mathbb{Q}(\zeta_{11})^+$).
• Het tonen van hoe de formule werkt bij trage (inert) priemgetallen met hoge residuale graad.

4. Significatie en Toekomstperspectief

De betekenis van dit werk is tweeledig:

1. Theoretisch: Het vult een belangrijke kloof in de Langlands-correspondentie door een constructief en expliciet kader te bieden voor base-change lifts naar totaal reële velden. Het verbindt de theorie van klassieke modulaire vormen direct met Hilbert-modulaire vormen via berekenbare formules.
2. Methodologisch: Door Hida-families te gebruiken, biedt het een krachtig instrument om de automorfe eigenschappen van complexe representaties (zoals tensorproducten en symmetrische machten) te bestuderen. De auteurs wijzen erop dat hun resultaten de basis vormen voor toekomstig onderzoek naar de automorfe base-change van tensorproducten en symmetrische machten van automorfe representaties over $GL_2/F$.

Samenvattend transformeert dit artikel een abstracte existentie-stelling in een rekenbaar algoritme, waardoor het mogelijk wordt om specifieke Hilbert-modulaire vormen te construeren en hun eigenschappen te analyseren, wat een cruciale stap is voor verdere vooruitgang in het getaltheoretisch onderzoek.