🔢 mathematics

Seven squares from three numbers

Het artikel bewijst dat er oneindig veel drietallen van verschillende niet-nul rationale getallen bestaan waarvoor de sommen van elk paar plus één en het product van alle drie plus één perfecte kwadraten zijn, terwijl dergelijke drietallen van positieve gehele getallen niet bestaan.

Oorspronkelijke auteurs: Andrej Dujella, Matija Kazalicki, Vinko Petričević

Gepubliceerd 2026-04-13

📖 5 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Andrej Dujella, Matija Kazalicki, Vinko Petričević

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Het Grote Getallenraadsel

Stel je voor dat je een groepje vrienden hebt die een heel specifieke game spelen. De regels zijn streng: je moet drie verschillende getallen kiezen (laten we ze A, B en C noemen). Maar er is een magische voorwaarde: als je deze getallen op een bepaalde manier combineert en er 1 bij optelt, moet het resultaat altijd een perfect vierkant zijn.

Wat betekent "perfect vierkant"? Denk aan getallen als 1, 4, 9, 16, 25. Dit zijn getallen die je kunt maken door een heel getal met zichzelf te vermenigvuldigen (bijvoorbeeld $4 \times 4 = 16$ ).

De auteurs van dit artikel, drie wiskundigen uit Kroatië, wilden weten of er zo'n groepje van drie getallen bestaat dat aan zeven verschillende regels tegelijk voldoet. De regels zijn:

$A + 1$ is een vierkant.
$B + 1$ is een vierkant.
$C + 1$ is een vierkant.
$A \times B + 1$ is een vierkant.
$A \times C + 1$ is een vierkant.
$B \times C + 1$ is een vierkant.
$A \times B \times C + 1$ is een vierkant.

Het is alsof je zeven verschillende sloten moet openen met één set sleutels. Als je één slot opent, moet de rest ook automatisch openen.

De Twee Werelden: Breuken vs. Hele Getallen

De wiskundigen ontdekten dat het antwoord totaal anders is, afhankelijk van of je gehele getallen (1, 2, 3...) gebruikt of breuken (zoals 1/2, 3/4, 5/2).

1. De Wereld van de Breuken: Een Oneindige Feestzaal

Als je mag kiezen uit breuken (rationale getallen), dan is het antwoord: Ja, en er zijn er oneindig veel!

De auteurs hebben een soort "magische machine" ontdekt. Ze hebben een wiskundige formule bedacht die lijkt op een recept. Als je dit recept volgt en bepaalde getallen invult, krijg je automatisch een groepje van drie breuken dat aan alle zeven regels voldoet.

De Analogie: Denk aan een bakker die een recept heeft voor een taart. Als je de ingrediënten (de getallen) in de juiste verhouding mengt, krijg je elke keer een perfecte taart. De wiskundigen hebben bewezen dat je dit recept oneindig vaak kunt gebruiken om nieuwe, unieke taarten (getal-groepjes) te bakken.
Ze hebben zelfs een verborgen kaart gevonden (een zogenaamde "elliptische kromme") die fungeert als een schatkaart. Als je een punt op deze kaart kiest, krijg je direct een oplossing. Omdat er oneindig veel punten op deze kaart zitten, zijn er ook oneindig veel oplossingen.

2. De Wereld van de Hele Getallen: Een Gesloten Deur

Als je echter alleen maar mag kiezen uit positieve hele getallen (1, 2, 3, 4...), dan is het antwoord: Nee, dat is onmogelijk.

Dit is het verrassende deel. Je zou denken: "Als het met breuken kan, moet het met hele getallen toch ook kunnen?" Maar de wiskunde zegt hier: "Nee."

De Analogie: Stel je voor dat je probeert een puzzel te leggen waarbij je alleen vierkante tegels mag gebruiken, maar de vloer is zo gebouwd dat er altijd een klein stukje ruimte overblijft dat niet past.
De auteurs hebben een bewijs geleverd (een logische redenering) dat laat zien dat zodra je begint met het kiezen van hele getallen die aan de eerste regels voldoen, je op een punt komt waar de wiskunde "in de knoop" raakt. Het is alsof je probeert een ladder te bouwen die net iets te lang is voor de muur, maar net te kort om de vloer te raken. Er is geen plek waar de getallen kunnen landen zonder de regels te breken.
Ze hebben laten zien dat er een getal bestaat dat "tussen" twee andere gehele getallen moet liggen, maar dat er in de wereld van de hele getallen geen getal bestaat dat precies daar zit. Het is een logische valstrik waaruit je niet kunt ontsnappen.

Waarom is dit interessant?

Vroeger wisten wiskundigen al dat je groepjes van drie of vier getallen kon vinden die aan een paar van deze regels voldoen (dit noemen ze "Diophantische tuple's"). Maar dit artikel gaat een stap verder: het vraagt om zeven regels tegelijk.

Voor de breuken: Het is een feestje waar de muziek nooit stopt. Er zijn oneindig veel combinaties.
Voor de hele getallen: Het is een gesloten deur. Het is een bewijs dat de natuurwetten van de gehele getallen simpelweg niet toestaan dat zo'n groepje bestaat.

Samenvatting in één zin

Deze wiskundigen hebben bewezen dat je met breuken oneindig veel groepjes van drie getallen kunt vinden die aan zeven complexe regels voldoen, maar dat het onmogelijk is om zo'n groepje te maken als je alleen maar met hele getallen werkt.

Het is een mooi voorbeeld van hoe wiskunde soms verrassende grenzen trekt: wat in de ene wereld (breuken) onbeperkt mogelijk is, is in de andere wereld (hele getallen) volledig verboden.

Titel: Zeven kwadraten uit drie getallen

Auteurs: Andrej Dujella, Matija Kazalicki en Vinko Petričević
Onderwerp: Diophantische vergelijkingen, rationale getallen, elliptische krommen.

1. Probleemstelling

Het artikel onderzoekt de bestaansvoorwaarden voor drietallen $\{a, b, c\}$ van onderscheiden, niet-nul rationale getallen met de volgende eigenschap:
De volgende zeven uitdrukkingen moeten allemaal perfecte kwadraten zijn:

$a + 1$
$b + 1$
$c + 1$
$ab + 1$
$ac + 1$
$bc + 1$
$abc + 1$

De auteurs noemen zulke drietallen "exotische Diophantische drietallen".
Dit probleem is een uitbreiding van het klassieke probleem van Diophantische $m$ -tupels (waarbij het product van twee elementen plus 1 een kwadraat is). Hier wordt geëist dat ook de som van elk element met 1, en het product van alle drie de elementen plus 1, kwadraten zijn. Dit is equivalent aan het zoeken naar een rationele Diophantische viertupel $\{1, a, b, c\}$ waarbij bovendien $abc + 1$ een kwadraat is.

Het artikel stelt twee fundamentele stellingen:

Stelling 1: Er bestaan oneindig veel van dergelijke exotische rationele drietallen.
Stelling 2: Er bestaan geen exotische Diophantische drietallen in de positieve gehele getallen.

2. Methodologie

A. Het rationale geval (Bewijs van Stelling 1)

De auteurs begonnen met een numerieke zoektocht naar voorbeelden. Ze ontdekten dat een groot deel van de gevonden voorbeelden voldoet aan een specifieke algebraïsche structuur: regulariteit.

Regulariteit: Een drietal $(a, b, c)$ wordt "regulier" genoemd als het voldoet aan de vergelijking:
$r_3(a, b, c) = (a + b - c)^2 - 4(ab + 1) = 0$
De auteurs observeerden dat voor veel gevonden exotische drietallen de verzameling $\{1, a, b, c\}$ een reguliere Diophantische viertupel vormt.
Algebraïsche Formulering:
Om de voorwaarde $abc + 1 = \square$ te garanderen, gebruiken ze de symmetrie van het polynoom $r_3$ . Als $\{1, ab, c\}$ een reguliere Diophantische drietal is (d.w.z. $r_3(1, ab, c) = 0$ ), dan zijn $ab+1$, $c+1$ en $abc+1$ automatisch kwadraten.
Om ook $a+1$ en $b+1$ tot kwadraten te maken, stellen ze $a = r^2 - 1$ en $b = s^2 - 1$ .
Reductie tot Elliptische Krommen:
Door de voorwaarden $r_3(1, (r^2-1)(s^2-1), c) = 0$ en $r_4(1, r^2-1, s^2-1, c) = 0$ te combineren, ontstaat een stelsel vergelijkingen. Het verschil tussen deze polynomen leidt tot twee gevallen:
- Geval 1: Leidt tot een kromme van genus 1 die birationeel equivalent is aan de elliptische kromme $E_1: y^2 = x^3 - 7x - 6$ . De Mordell-Weil-rang van deze kromme over $\mathbb{Q}$ is 0, wat betekent dat deze geen oneindig veel oplossingen oplevert.
- Geval 2: Leidt tot een andere kromme die birationeel equivalent is aan de elliptische kromme $E_2: y^2 = x^3 - 111x + 450$ .
  - De Mordell-Weil-groep van $E_2$ over $\mathbb{Q}$ wordt gegenereerd door een punt van orde 2 en een punt van oneindige orde.
  - Omdat er een punt van oneindige orde is, genereert dit een oneindige groep van rationale punten.
  - Elk punt op $E_2$ (behalve een eindig aantal uitzonderingen die tot degeneratie leiden) correspondeert met een geldig exotisch rationeel drietal.

B. Het gehele getallen geval (Bewijs van Stelling 2)

Voor het bewijs dat er geen oplossingen bestaan in de positieve gehele getallen, gebruiken de auteurs een contradictiebewijs gebaseerd op schattingen en ongelijkheden.

Aannames: Stel dat er gehele getallen $3 \le a < b < c$ bestaan die aan de voorwaarden voldoen.
Definities: Stel $ab+1=r^2$ , $ac+1=s^2$ , $bc+1=t^2$ , $c+1=z^2$ en $abc+1=u^2$ .
Grootte van $c$ : Uit eerdere resultaten over Diophantische viertupels volgt dat $c > 4ab$.
De Identiteit: De auteurs definiëren een geheel getal $M = 2r(zu - st)$. Ze tonen aan dat:
$(zu)^2 - (st)^2 = (c+1)(abc+1) - (ac+1)(bc+1) = c(a-1)(b-1)$
Hieruit volgt een uitdrukking voor $M$ .
Schattingen: Door $zu + st$ van boven en onder te schatten (gebruikmakend van $c > 4ab$), leiden ze af dat:
$(a-1)(b-1) < M < (a-1)(b-1) + \frac{1}{2}$
Contradictie: $M$ is een geheel getal dat strikt tussen twee opeenvolgende gehele getallen (namelijk $(a-1)(b-1)$ en $(a-1)(b-1)+1$ ) ligt. Dit is onmogelijk. Er bestaat dus geen dergelijk geheel getal $M$ , en bijgevolg bestaan er geen dergelijke gehele getallen $a, b, c$ .

3. Belangrijkste Resultaten

Oneindigheid in $\mathbb{Q}$ : Er is bewezen dat er oneindig veel exotische Diophantische drietallen bestaan in de rationale getallen. De auteurs geven een expliciete constructie via de elliptische kromme $E_2$ . Ze presenteren meerdere concrete voorbeelden van dergelijke drietallen, afgeleid van punten op deze kromme.
Onbestaan in $\mathbb{Z}^+$ : Er is strikt bewezen dat er geen oplossing bestaat in de positieve gehele getallen. Dit is een scherp contrast met het rationale geval en lost een speciaal geval op van een breder probleem over producten van drie getallen plus 1.
Verbinding met Regulariteit: Het artikel benadrukt het belang van "reguliere" Diophantische tupels als een krachtige methode om complexe systemen van kwadratische vergelijkingen te reduceren tot elliptische krommen.

4. Significance en Bijdrage

Uitbreiding van Diophantische Theorie: Het werk breidt de kennis over Diophantische tupels uit door een nieuwe klasse van "exotische" tupels te introduceren die extra voorwaarden stellen (namelijk $a+1$ en $abc+1$).
Methodologische Innovatie: De combinatie van numerieke zoektochten, het identificeren van regulariteit en de daaropvolgende reductie tot elliptische krommen biedt een robuust kader voor het analyseren van dergelijke problemen.
Contrast tussen $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{Z}$ : Het artikel illustreert een fundamenteel verschil in het gedrag van Diophantische vergelijkingen over de rationale getallen versus de gehele getallen. Waar de ruimte van rationale oplossingen vaak "rijk" is (oneindig veel oplossingen via elliptische krommen), kunnen strikte ongelijkheden in de gehele getallen leiden tot het volledig ontbreken van oplossingen.
Toepassing van AI: De auteurs vermelden in de dankbetuiging dat de "Cantab Pi AI Math Research Assistant" heeft bijgedragen aan het vinden van het bewijs voor Stelling 2, wat een opmerkelijk voorbeeld is van de toenemende rol van AI in wiskundig onderzoek.

Samenvattend biedt dit artikel een volledig antwoord op de vraag of er drie getallen bestaan die zeven specifieke kwadraten genereren: Ja, oneindig veel in de rationale getallen, maar geen enkele in de positieve gehele getallen.