Study of $\chi_{cJ}\to \eta \eta \eta^\prime$ via intermediate charmed meson loop mechanisms and its implications for non-observation of $\eta_1(1855)$ in $\chi_{cJ}$ decays

In dit artikel wordt onderzocht hoe de vervalprocessen $\chi_{cJ} \to \eta \eta \eta^\prime$ via tussenliggende charmed-mesonlussen en de scalair $f_0(1500)$ de experimentele waarnemingen van BESIII goed kunnen verklaren en waarom er geen signaal is gevonden voor de exotische toestand $\eta_1(1855)$.

De kern

De Grote Deeltjesjacht: Waarom is het 'spookdeeltje' verdwenen?

Stel je voor dat deeltjesfysici als detectives werken in een enorm, chaotisch huis (het universum). Ze zoeken naar een heel specifiek, raar meubelstuk: een exotisch deeltje genaamd $\eta_1(1855)$. Dit deeltje is speciaal omdat het een "verboden" combinatie van eigenschappen heeft die normaal gesproken niet voorkomt in de natuur.

Onlangs hebben onderzoekers van het BESIII-experiment (een gigantische deeltijddetector in China) een nieuwe kamer in dat huis onderzocht. Ze keken naar hoe een zwaar deeltje, de $\chi_c$, uit elkaar valt in drie lichtere deeltjes: twee $\eta$'s en één $\eta'$.

Ze hoopten dat ze in die stapel puin het spookdeeltje ($\eta_1(1855)$) zouden vinden. Maar... het was er niet. Geen spoor.

De vraag is: Is het deeltje niet gemaakt in dit proces, of hebben we het gewoon over het hoofd gezien?

In dit artikel nemen de auteurs (Wang en collega's) de rol van de "bouwkundige" op zich. Ze zeggen: "Laten we eerst kijken of de normale bouwstenen van het huis al genoeg puin kunnen verklaren, voordat we gaan zoeken naar een spook."

1. De Bouwtekening: De "Loop" Mechanismen

In de wereld van subatomaire deeltjes kunnen deeltjes niet zomaar van A naar B gaan. Soms moeten ze een omweg maken. De auteurs gebruiken een theorie die effectieve Lagrangianen noemt (een ingewikkelde manier om te zeggen: "een set regels voor hoe de krachten werken").

Ze stellen zich voor dat het zware $\chi_c$-deeltje uit elkaar valt via een tussenstap met charmed mesonen (een soort zware, tijdelijke deeltjes).

• De Analogie: Stel je voor dat je een brief wilt sturen van huis A naar huis C. Je kunt niet direct gaan. Je moet eerst naar een postkantoor (het charmed meson), daar een tussenstop maken, en dan pas naar C.
• In dit proces zijn er twee soorten routes:
  1. De Driehoek-route (Triangle loop): Een kortere omweg met drie tussenstops.
  2. De Doos-route (Box loop): Een langere, vierkante omweg met vier tussenstops.

De auteurs berekenen precies hoe vaak deze routes voorkomen en hoe het puin eruitziet als deze routes worden genomen.

2. De Berekening: Het Spook is niet nodig

De onderzoekers voerden complexe wiskundige berekeningen uit om te zien wat er gebeurt als het $\chi_c$-deeltje uit elkaar valt via deze "omwegen" (de loops).

• Het resultaat: Hun berekeningen kwamen perfect overeen met de feitelijke metingen van het BESIII-experiment. Ze konden precies voorspellen hoeveel deeltjes er werden gezien en welke energie ze hadden.
• De conclusie: Omdat de "normale" routes (de driehoek en de doos) al alles verklaren wat er gebeurt, is er geen ruimte meer voor het spookdeeltje ($\eta_1(1855)$).

De Metafoor:
Stel je voor dat je een bak met M&M's hebt. Je ziet een rode M&M en een blauwe M&M. Je denkt: "Misschien is er hier een onzichtbare groene M&M die de rode en blauwe bij elkaar heeft gebracht!"
Maar als je de bak goed bekijkt, zie je dat de rode en blauwe M&M's gewoon door een normaal mechanisme (bijvoorbeeld een trilling in de bak) tegen elkaar zijn geduwd. Je hebt de onzichtbare groene M&M niet nodig om de situatie te verklaren. Zo is het hier ook: de "normale" deeltjesroutes verklaren het volledige beeld, dus het spookdeeltje is waarschijnlijk niet aanwezig in dit specifieke proces.

3. Waarom is dit belangrijk?

Dit artikel is belangrijk om twee redenen:

1. Het verklaart de "mislukking": Het geeft een reden waarom het BESIII-experiment het $\eta_1(1855)$-deeltje niet zag in dit specifieke proces. Het is niet omdat het deeltje niet bestaat (het werd eerder wel gezien in een ander proces), maar omdat dit specifieke "deur" (het $\chi_c$-verval) niet de juiste plek is om het te vinden. De "normale" deeltjes doen het werk al zo goed dat er geen ruimte is voor het spook.
2. Het is een voorspelling: Voor het $\chi_c2$-deeltje (een andere variant) hebben ze nog geen metingen. Maar ze hebben nu een voorspelling gedaan van hoe het puin eruit zou moeten zien als alleen de "normale" routes werken. Als toekomstige metingen van BESIII precies zo zijn, weten we dat het spookdeeltje hier ook niet speelt.

Samenvatting in één zin

De auteurs hebben bewezen dat de "normale" deeltjesroutes (via charmed mesonen) het gedrag van het $\chi_c$-deeltje al volledig verklaren, waardoor het ontbreken van het exotische spookdeeltje ($\eta_1(1855)$) in deze metingen logisch en begrijpelijk is: het is gewoon niet nodig voor de verklaring.

Het is alsof je zegt: "We hebben het licht niet gevonden omdat het niet donker was; de lampen die we al hadden, waren al fel genoeg."

Technische samenvatting

Titel: Studie van $\chi_{cJ} \to \eta\eta\eta'$ via intermediaire charmed-meson-lusmechanismen en de implicaties voor het niet-observatie van $\eta_1(1855)$ in $\chi_{cJ}$-vervallen

1. Het Probleem

De BESIII-samenwerking rapporteerde onlangs de eerste observatie van het verval $\chi_{cJ} \to \eta\eta\eta'$ met als doel te zoeken naar de exotische $1^{-+}$-toestand $\eta_1(1855)$. Hoewel de $\eta_1(1855)$ eerder met hoge statistische significantie was waargenomen in het proces $J/\psi \to \gamma\eta\eta'$, werd er in de invariant-massaspectrum van $\eta\eta'$ uit $\chi_{cJ}$-vervallen geen significant signaal voor de $\eta_1(1855)$ gevonden.
De structuur in het $\eta\eta'$-massaspectrum werd voornamelijk toegeschreven aan de scalair meson $f_0(1500)$, terwijl het $\eta\eta$-spectrum voornamelijk overeenkwam met de $0^{++}$-faseruimte. De vraag is waarom het $\eta_1(1855)$-signaal ontbreekt in deze specifieke vervalkanaal en of dit te wijten is aan beperkte statistiek of aan een fundamenteel ander vervalmechanisme.

2. Methodologie

De auteurs gebruiken een effectieve Lagrangiaan-benadering om de processen $\chi_{cJ} \to \eta\eta\eta'$ (waarbij $J=1, 2$) te modelleren. De kern van hun analyse is dat deze vervallen plaatsvinden via lusdiagrammen met intermediaire charmed-mesonen ($D$ en $D^*$) en het scalair meson $f_0(1500)$.

• Feynman-diagrammen:
  • Voor $\chi_{c1} \to \eta\eta\eta'$ worden zowel box-lussen als driehoekslussen (met een intermediaire $f_0(1500)$) beschouwd.
  • Voor $\chi_{c2} \to \eta\eta\eta'$ dragen alleen box-lussen bij (geen driehoekslussen zijn mogelijk binnen dit Lagrangiaan-kader).
  • Voor $\chi_{c0}$ is er geen lusbijdrage onder de gekozen Lagrangianen, dus dit proces wordt niet bestudeerd.
• Formalisme:
  • Er worden effectieve Lagrangianen gebruikt voor de interacties tussen $\chi_{cJ}$, charmed-mesonen, en lichte pseudoscalaire mesonen ($\eta, \eta'$).
  • De koppeling van de $f_0(1500)$ aan charmed-mesonen ($g_{f_0}$) en aan lichte mesonen wordt bepaald via experimentele data en SU(4)-symmetrie-overwegingen.
  • De totale amplitude is een som van de box- en driehoekslusamplitudes met een relatieve fase $\theta$: $\mathcal{M}_{tot} = \mathcal{M}_{box} + e^{i\theta}\mathcal{M}_{tri}$.
  • Een vormfactor $F(q, M)$ wordt geïntroduceerd om ultraviolette divergenties te regulariseren, afhankelijk van een afsnijparameter $\alpha$.

3. Belangrijkste Bijdragen en Berekeningen

• Bepaling van Koppelingsconstanten: De auteurs schatten de onbekende koppelingsconstante $g_{f_0}$ door de experimentele vertakkingsratio van $\chi_{c1} \to \eta\eta\eta'$ te fitten, waarbij ze eerst alleen de box-lus bijdragen beschouwen en vervolgens de driehoekslus bijdragen aanpassen. Dit leidt tot een waarde van $g_{f_0} \approx 6.87$.
• Interferentie-effecten: Ze analyseren de invloed van de relatieve fase $\theta$ tussen de box- en driehoekslussen op de totale vervalbreedte en de invariant-massaspectra.
• Vergelijking met Data: De theoretische voorspellingen worden direct vergeleken met de recente meetresultaten van de BESIII-samenwerking, inclusief de partiële vervalbreedtes en de invariant-massaspectra van de $\eta\eta'$ en $\eta\eta$ paren.

4. Resultaten

• Overeenkomst met Experiment: De berekeningen reproduceren de experimentele partiële vervalbreedtes van $\chi_{c1} \to \eta\eta\eta'$ en $\chi_{c2} \to \eta\eta\eta'$ zeer goed binnen een redelijk bereik van de afsnijparameter $\alpha$.
  • Voor $\chi_{c1}$ wordt de breedte gedomineerd door de som van de driehoek- en box-lus bijdragen. De driehoekslus draagt iets meer bij ($\sim 0.054$ keV) dan de box-lus ($\sim 0.044$ keV).
  • De beste overeenkomst met de invariant-massaspectra van BESIII wordt gevonden voor een relatieve fase $\theta$ tussen $150^\circ$ en $210^\circ$.
• Niet-observatie van $\eta_1(1855)$: De resultaten tonen aan dat het verval $\chi_{c1} \to \eta\eta\eta'$ vrijwel volledig wordt verzadigd door de lusmechanismen (voornamelijk via de $f_0(1500)$).
  • Als dit lusmechanisme het dominante fysische proces is, dan is de bijdrage van andere intermediaire resonanties, zoals de $\eta_1(1855)$, maximaal vergelijkbaar met die van de $f_0(1500)$.
  • De auteurs voorspellen een bovengrens voor het product van de vertakkingsratio's: $B[\chi_{c1} \to \eta_1(1855)\eta] \cdot B[\eta_1(1855) \to \eta\eta'] \lesssim 1.05 \times 10^{-4}$. Dit is consistent met de bovengrens die door BESIII werd vastgesteld ($< 9.79 \times 10^{-5}$).
• Voorspelling voor $\chi_{c2}$: Voor het $\chi_{c2}$-proces worden voorspellingen gedaan voor de invariant-massaspectra, die dienen als test voor toekomstige BESIII-metingen om de dominantie van het box-lusmechanisme te verifiëren.

5. Betekenis en Conclusie

De studie biedt een verklaring voor het ontbreken van het $\eta_1(1855)$-signaal in de $\chi_{cJ} \to \eta\eta\eta'$-kanalen. Het is niet noodzakelijk dat het deeltje niet wordt geproduceerd, maar dat het lusmechanisme via charmed-mesonen en de $f_0(1500)$ zo dominant is dat het eventuele signaal van de $\eta_1(1855)$ wordt overstemd of dat de productie via dit specifieke kanaal onderdrukt is ten opzichte van de achtergrond.

De consistentie tussen de theorie en de BESIII-data suggereert dat de vervalmechanismen van $\chi_{cJ}$ naar lichte mesonen sterk worden beïnvloed door hadronische lus-effecten. Dit werk helpt bij het begrijpen van de onderliggende dynamica van charmonium-vervallen en biedt een kader voor het interpreteren van toekomstige zoektochten naar exotische toestanden in vergelijkbare kanalen.