Representation of Ramanujan's tau function by twisted divisor functions

Titel: Representatie van Ramanujan's Tau-functie door Gebogen Delerfuncties

Auteur: Tianyu Ni
Vakgebied: Getaltheorie, Modulaire Vormen (11F11, 11A25)

---

1. Het Probleem

De Ramanujan-tau-functie, $\tau(n)$, is gedefinieerd via de Fourier-coëfficiënten van de discriminant-modulaire vorm $\Delta(z)$ van gewicht 12 en niveau 1:
$$\Delta(z) = q \prod_{n \ge 1} (1-q^n)^{24} = \sum_{n \ge 1} \tau(n)q^n, \quad q = e^{2\pi i z}.$$
Hoewel er reeds formules bestaan voor $\tau(n)$ die gebruikmaken van convolutiesommen van standaard delerfuncties (zoals $\sigma_k(n)$), richt dit artikel zich op het vinden van een oneindige familie van identiteiten die $\tau(n)$ uitdrukken in termen van convolutiesommen van gebogen delerfuncties (twisted divisor functions). Deze gebogen functies zijn gerelateerd aan Dirichlet-karakters en komen voor in de Fourier-coëfficiënten van Eisenstein-reeksen van hogere niveaus.

Het centrale probleem is het construeren van een expliciete relatie tussen $\tau(n)$ en deze complexere sommen, waarbij de methode moet garanderen dat de geconstrueerde modulaire vormen niet triviaal (nul) zijn.

2. Methodologie

De auteur hanteert een constructieve aanpak die modulaire vormen van niveau 1 afleidt uit vormen van hogere niveaus. De kernmethodologie omvat de volgende stappen:

1. Rankin-Cohen-haakjes: De auteur gebruikt de Rankin-Cohen-haakjes $[f, g]_e$ van twee Eisenstein-reeksen $G_{\ell, \chi}$ en $G_{k, \chi}$ van niveau $D$ (waarbij $D$ een oneven kwadraatvrij geheel getal is). Deze haakjes genereren een cusp-vorm (spitsvorm) van gewicht $k+\ell+2e$.
2. Trace-operatie: Om van niveau $D$ terug te keren naar niveau 1, past de auteur de trace-operatie ($Tr_D^1$) toe op deze Rankin-Cohen-haakjes. Dit resulteert in een familie van cusp-vormen $F_{D, \ell, k, e}(z; \chi)$ van niveau 1.
3. Non-trivialiteit (Niet-nul zijn): Een cruciaal obstakel is het bewijzen dat de geconstrueerde vorm $F_{D, \ell, k, e}$ niet identiek nul is.
   • In plaats van direct te controleren of een Fourier-coëfficiënt niet-nul is (wat analytisch moeilijk is voor willekeurige $D$), maakt de auteur gebruik van de Rankin-Selberg-methode.
   • Door het inwendige product (Petersson inner product) van de geconstrueerde vorm met een genormaliseerde Hecke-eigenvorm $f$ te berekenen, wordt het probleem gekoppeld aan de niet-nul-waarde van gedraaide $L$-waarden (twisted $L$-values), specifiek $L(f, s)$ en $L(f, \chi, s)$.
   • Gebruikmakend van resultaten van Kohnen-Zagier en Shimura, wordt aangetoond dat deze $L$-waarden niet-nul zijn onder bepaalde voorwaarden, wat impliceert dat de geconstrueerde vorm niet-triviaal is.
4. Uniciteit: Omdat de ruimte van genormaliseerde Hecke-eigenvormen $S_{12}$ van gewicht 12 en niveau 1 één-dimensionaal is (opgespannen door $\Delta(z)$), moet elke niet-triviale cusp-vorm in deze ruimte een veelvoud zijn van $\Delta(z)$. Hierdoor kan $\tau(n)$ direct worden uitgedrukt in termen van de Fourier-coëfficiënten van de geconstrueerde vorm.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

Definitie van de Gebogen Delerfuncties

De auteur introduceert de functie $\sigma_{l-1, \phi, \psi}(n)$, gedefinieerd als:
$$\sigma_{l-1, \phi, \psi}(n) = \sum_{d_1 d_2 = n} \phi(d_1)\psi(d_2)d_1^{l-1}$$
voor $n \ge 1$, waarbij $\phi$ en $\psi$ Dirichlet-karakters zijn.

Hoofdstelling (Theorem 1.1)

De paper levert een oneindige familie van identiteiten die $\tau(n)$ uitdrukken via genormaliseerde Fourier-coëfficiënten $\tilde{a}_{D, \ell, k, e}(n; \chi)$ van de geconstrueerde vormen. De resultaten zijn afhankelijk van het karakter $\chi$ en de parameters:

• Geval $\chi(-1) = -1$:
  $$\tau(n) = \tilde{a}_{D, 3, 5, 2}(n; \chi) \quad \text{en} \quad \tau(n) = \tilde{a}_{D, 3, 7, 1}(n; \chi).$$
• Geval $\chi(-1) = 1$:
  $$\tau(n) = \tilde{a}_{D, 4, 6, 1}(n; \chi).$$
• Specifiek geval $D=1$ of $D$ een priemgetal $\equiv 5 \pmod 8$:
  $$\tau(n) = \tilde{a}_{D, 4, 2}(n).$$

Deze formules generaliseren bekende identiteiten van het type van der Pol (voor $D=1$) naar situaties met hogere niveaus en gebogen delerfuncties.

Numerieke Validatie en Toepassingen

• De auteur verifieert de formules numeriek voor $D=7$ en verschillende karakters, waarbij de berekende waarden van $\tau(n)$ exact overeenkomen met de bekende waarden.
• Een toepassing wordt getoond voor het evalueren van Dirichlet $L$-waarden, specifiek $L(-3, \chi_p)$, waarbij een nieuwe formule wordt afgeleid die geen Bernoulli-polynomen vereist, maar wel gebaseerd is op de convolutiesommen van de tau-functie.

4. Significatie en Conclusie

• Generalisatie: Het werk generaliseert klassieke resultaten over Ramanujan's tau-functie door de context van niveau 1 uit te breiden naar een oneindige familie van niveaus $D$, gebruikmakend van de structuur van gebogen delerfuncties.
• Methodologische Innovatie: De paper biedt een robuuste methode om de non-trivialiteit van geconstrueerde modulaire vormen te bewijzen via $L$-functies in plaats van directe coëfficiëntenberekening, wat een algemene aanpak biedt voor vergelijkbare constructies.
• Verbinding tussen theorieën: Het artikel legt een expliciete brug tussen de theorie van Eisenstein-reeksen, Rankin-Cohen-haakjes, en de specifieke eigenschappen van de Ramanujan-tau-functie.

Toekomstige Richtingen (Conjectures):
De auteur formuleert twee conjectures:

1. Conjecture 5.1: Voor voldoende grote gewicht $K = k + \ell + 2e$ ten opzichte van $D$, is de eerste Fourier-coëfficiënt $a_{D, \ell, k, e}(1; \chi)$ niet-nul.
2. Conjecture 5.2: Als de dimensie van de ruimte van cusp-vormen $S_{2k+2e}$ groter is dan 1, is de geconstrueerde vorm $F_{D, k, e}$ over het algemeen géén Hecke-eigenvorm.

Samenvattend biedt dit artikel een krachtige nieuwe representatie van $\tau(n)$ en een diepgaand inzicht in de constructie van modulaire vormen van niveau 1 uit hogere niveaus.