Comparison of model order reduction techniques with one-shot procedure for topology optimization for thermal applications

Titel: Vergelijking van Model Order Reduction-technieken met een One-Shot-procedure voor Topologie-Optimalisatie bij Thermische Toepassingen

Auteurs: Luis Fernando Cusicanqui Lopez, Ramadan Krasniqi, Florian Feppon, Karl Meerbergen
Datum: 22 april 2026

---

1. Probleemstelling

Topologie-optimalisatie (TO) is een krachtige numerieke methode voor het automatisch genereren van geoptimaliseerde ontwerpen, maar het is computatievermogen-intensief, vooral bij 3D-toepassingen en thermische problemen. Het proces vereist het oplossen van grote lineaire systemen (voor de toestand en de toegevoegde vergelijking) in elke iteratie van het ontwerp.

• De bottleneck: Het oplossen van deze lineaire systemen met hoge precisie (Full Order Model - FOM) domineert de rekentijd.
• Bestaande oplossingen: Technieken zoals subspace-recycling en het gebruik van onnauwkeurige "one-shot" oplossers (waarbij de lineaire systemen slechts met één iteratie worden opgelost) hebben reeds snelheidswinst opgeleverd, maar er is nog ruimte voor verbetering.
• De uitdaging: Er bestaat een afweging tussen rekensnelheid en nauwkeurigheid. Een te soepel stop-criterium voor de lineaire solver leidt tot onnauwkeurige ontwerpen, terwijl een te streng criterium de snelheidswinst tenietdoet. Bovendien blijkt dat standaard stop-criteria voor de toegevoegde (adjoint) vergelijking vaak inefficiënt zijn.

2. Methodologie

De auteurs stellen een raamwerk voor dat Model Order Reduction (MOR) combineert met een one-shot procedure om de rekentijd te verminderen zonder de kwaliteit van het ontwerp te compromitteren.

A. Gescheiden Model Order Reduction

In plaats van één basis voor zowel de toestand als de toegevoegde vergelijking te gebruiken, bouwen de auteurs twee aparte gereduceerde bases:

1. Voorwaartse basis ($V$): Gebaseerd op oplossingen van de toestandvergelijking.
2. Toegevoegde basis ($W$): Gebaseerd op oplossingen van de toegevoegde vergelijking.
   Deze bases worden geconstrueerd via een projectie van de hoge-dimensie systemen naar een laag-dimensionale ruimte. De auteurs gebruiken een Gram-Schmidt-gebaseerd incrementeel algoritme om nieuwe oplossings-snapshots toe te voegen. Als de maximale dimensie van de basis wordt bereikt, worden de oudste vectoren verwijderd. Het nieuwe algoritme zorgt ervoor dat de resterende basis de gewenste deelruimte correct blijft reconstrueren, in tegenstelling tot eerdere methoden waarbij informatie verloren ging bij het verwijderen van vectoren.

B. Alternatief Stop-Criterium

Een cruciale bijdrage is het gebruik van een alternatief stop-criterium voor de iteratieve lineaire solver (Conjugate Gradient).

• Standaard criterium ($w_1$): Gebaseerd op de relatieve residu-norm $\|r\|/\|b\|$. Dit bleek te streng voor de toegevoegde vergelijking, wat leidde tot onnodig veel iteraties of inefficiënt gebruik van MOR.
• Nieuw criterium ($w_2$): Gebaseerd op $\|r\| / (\|b\| + \|A\|\|x\|)$. Dit criterium is minder afhankelijk van de richting van de rechterkant en leidt tot een uniformer gebruik van de gereduceerde modellen voor zowel de voorwaartse als de toegevoegde vergelijking.

C. Integratie van One-Shot en MOR

De auteurs onderzoeken twee strategieën voor het bouwen van de MOR-bases:

1. Hoge-trouwheid (High-Fidelity): Bases gebouwd uit volledig geconvergeerde oplossingen.
2. One-Shot: Bases gebouwd uit "onnauwkeurige" oplossingen (slechts één iteratie van de multigrid preconditioned conjugate gradient methode).
   Het workflow-protocol is adaptief: eerst wordt een MOR-schatting gemaakt. Als deze voldoet aan een verlaagde tolerantie ($\tau_{mor}$), wordt deze geaccepteerd. Zo niet, dan wordt de volledige solver (FOM) of de one-shot methode aangeroepen om de oplossing te corrigeren en de basis te updaten.

3. Belangrijkste Bijdragen

1. Verbeterd Basis-update Algoritme: Een nieuwe Gram-Schmidt procedure die de orthogonaliteit en de kwaliteit van de deelruimte behoudt bij het verwijderen van oude snapshots, wat essentieel is voor de stabiliteit van de MOR in TO.
2. Optimalisatie van Stop-Criteria: Het aantonen dat het standaard stop-criterium suboptimaal is voor de toegevoegde vergelijking en het introduceren van een alternatief criterium ($w_2$) dat de efficiëntie van MOR aanzienlijk verbetert.
3. Hybride One-Shot/MOR Strategie: Het aantonen dat MOR-bases gebouwd op basis van snelle, onnauwkeurige one-shot oplossingen robuust genoeg zijn om kwalitatief goede ontwerpen te genereren, terwijl ze de rekentijd verder reduceren.

4. Resultaten

De methoden zijn getest op 2D- en 3D-thermische optimalisatieproblemen (warmteafvoer/heat sinks).

• Invloed van het stop-criterium: In 2D-experimenten bleek dat het gebruik van het nieuwe criterium ($w_2$) leidde tot een veel efficiënter gebruik van de toegevoegde MOR, terwijl het standaard criterium ($w_1$) de toegevoegde solver vaak dwong tot volledige convergentie, waardoor de snelheidswinst verloren ging.
• 3D-resultaten (Hoge-trouwheid):
  • Wanneer MOR wordt gecombineerd met volledig geconvergeerde solvers, wordt een snelheidswinst van factor 3 bereikt ten opzichte van de standaard FOM-workflow.
  • De ontwerpen behalen een prestatie binnen 4% van de referentieoplossing.
• 3D-resultaten (One-Shot combinatie):
  • De one-shot methode alleen levert al een snelheidswinst van factor 10 op ten opzichte van de standaard FOM.
  • Door MOR te combineren met de one-shot methode (waarbij de basis wordt opgebouwd uit one-shot snapshots), wordt een extra snelheidswinst van factor 1.54 (tot 1.57 in specifieke metingen) bereikt ten opzichte van de one-shot methode alleen.
  • De totale snelheidswinst ten opzichte van de standaard hoge-trouwheid workflow bedraagt hierdoor factor 16.
  • De kwaliteit van het finale ontwerp (thermische prestatie en volume-beperking) blijft vergelijkbaar met de referentie, ondanks het gebruik van onnauwkeurige snapshots voor de basisconstructie.

5. Betekenis en Conclusie

Dit onderzoek toont aan dat Model Order Reduction een zeer effectieve techniek is om de rekentijd van topologie-optimalisatie voor thermische toepassingen drastisch te verminderen.

• Synergie: De combinatie van MOR met de one-shot methode is krachtiger dan het gebruik van elk van deze technieken afzonderlijk. Het benut de lage kosten van MOR en de snelheid van one-shot.
• Robuustheid: Zelfs wanneer de MOR-bases worden opgebouwd uit zeer onnauwkeurige (one-shot) oplossingen, blijven de ontwerpen kwalitatief goed. Dit opent de deur voor het toepassen van deze technieken op complexere fysica waar hoge-trouwheid solvers te duur zijn.
• Praktische toepassing: De voorgestelde aanpak maakt het mogelijk om complexe 3D thermische ontwerpen (zoals heat sinks) veel sneller te optimaliseren, wat essentieel is voor industriële toepassingen waar ontwerpcycli kort moeten zijn.

Kortom, door slimme basis-update algoritmen en aangepaste stop-criteria te combineren met snelle initiële schattingen, kunnen ingenieurs de ontwerpcyclus van thermische systemen aanzienlijk versnellen zonder in te leveren op de kwaliteit van het eindresultaat.