LMI Approach for Sliding Mode Control and Analysis of DC-DC Converters

Titel: LMI-benadering voor Sliding Mode Control en Analyse van DC-DC Converters

Auteurs: Aleksandra D. Lekić (Universiteit van Belgrado) en Dušan M. Stipanović (Universiteit van Illinois).
Publicatie: Tehnika – Elektrotehnika, 65 (2016), nr. 5.

1. Probleemstelling

DC-DC converters, zoals de Ćuk-converter, zijn niet-lineaire schakelsystemen. Het analyseren van hun gedrag in de stationaire toestand (steady-state) en het garanderen van stabiliteit is complex, vooral vanwege de schakelende aard van de systemen.

• Uitdaging: Traditionele methoden gebruiken vaak vereenvoudigde lineaire modellen of benaderingen (zoals de "lineaire rimpelbenadering") die niet altijd geldig zijn, vooral bij grotere schakelingsfrequenties of specifieke schakeloppervlakken.
• Specifiek doel: Het paper richt zich op de Ćuk-converter, een complexe vierde-orde DC-DC converter. Het doel is om een robuuste methode te ontwikkelen om de stabiliteit van het schuifregime (sliding mode) te analyseren en de grenzen van de lineaire benaderingen kwantitatief vast te stellen.

2. Methodologie

De auteurs combineren het concept van Equivalent Control (geïntroduceerd door Utkin) met Lineaire Matrix Ongelijkheden (LMI) voor stabiliteitsanalyse.

• Modellering:
  • Het schakelsysteem wordt gemodelleerd als een dynamisch systeem met een schakelvariabele $u \in \{0, 1\}$.
  • Door het concept van equivalent control toe te passen, wordt het systeem op het schuifoppervlak ($S(x)=0$) beschreven als een continu systeem.
  • Dit niet-lineaire systeem wordt rond het evenwichtspunt gelijneerd. Het resultaat is een som van een lineair deel en een niet-lineair restterm (perturbatie).
• Sector Boundering:
  • De niet-lineaire restterm wordt behandeld als een perturbatie die binnen een bepaald "sector" is begrensd.
  • De stabiliteit wordt geanalyseerd via een Lyapunov-functie van het kwadratische type.
• LMI Formulering:
  • De S-procedure wordt gebruikt om de stabiliteitsvoorwaarden te formuleren als een convex optimalisatieprobleem (LMI).
  • Het doel is om de sectorgrens ($\alpha$) te maximaliseren. Een grotere sectorgrens betekent dat het systeem robuuster is tegen niet-lineariteiten en dat de lineaire benadering langer geldig blijft.
  • Een niet-singuliere transformatie (gebaseerd op eigenvectoren) wordt toegepast om de sectorgrens te optimaliseren.

3. Belangrijkste Bijdragen

• Koppeling tussen LMI en Rimpel: De paper toont een directe relatie aan tussen de gemaximaliseerde sectorgrens van de niet-lineariteit en de geldigheid van de lineaire rimpelbenadering (linear ripple approximation).
• Bepaling van Hysteresis-grenzen: De methode stelt onderzoekers in staat om de maximale grootte van de hysteresis ($\Delta$) te berekenen waarbinnen het systeem stabiel blijft en waarbinnen de lineaire analyse nog geldig is. Als $\Delta$ te groot wordt, breekt de lineaire benadering en treedt er significant niet-lineair gedrag op.
• Analyse van de Ćuk-converter: Voor het eerst wordt deze specifieke benadering uitgebreid toegepast op de volledige orde van de Ćuk-converter, inclusief zowel continue als discontinuë geleidingsmodi (DICM en DCVM).
• Vergelijking van Schakeloppervlakken: Er wordt een analyse uitgevoerd voor twee verschillende schuifoppervlakken (switching surfaces) om de algemene toepasbaarheid van de methode te demonstreren.

4. Resultaten en Simulaties

De auteurs hebben simulaties uitgevoerd met PLECS voor een Ćuk-converter met specifieke componentwaarden ($L_1=L_2=1mH$, $C_1=1\mu F$, $C_2=20\mu F$, $R=5\Omega$, $V_{in}=10V$).

• Schuifoppervlak 1 (Stroomregeling):
  • Bij een kleine hysteresis ($\Delta = 10m$) volgt het systeem goed de lineaire rimpelbenadering.
  • Bij een grote hysteresis ($\Delta = 100m$) wordt de niet-lineariteit evident, vooral in de stroom van de eerste spoel ($i_{L1}$). De LMI-analyse voorspelde correct dat de sectorgrens werd overschreden bij deze waarde.
  • De berekende limiet voor lineaire rimpel was $\Delta \approx 17m$.
• Schuifoppervlak 2 (Gewogen stroomsom):
  • Hierbij wordt een gewogen som van de inductorstromen geregeld.
  • De LMI-benadering leverde een sectorgrens op die de limiet voor $\Delta$ bepaalde op ongeveer $90m$.
  • De fase-diagrammen toonden het gedrag bij opstarten en de terugkeer naar het schuifoppervlak.
• Unidirectioneel vs. Bidirectioneel:
  • Er werd een verschil aangetoond tussen een converter met een unidirectionele schakelaar/diode en een synchrone converter met bidirectionele schakelaars.
  • Bij de bidirectionele uitvoering treden geen discontinuë regimes op, wat leidt tot een soepelere terugkeer naar het schuifoppervlak en minder rimpel.

5. Betekenis en Conclusie

De paper biedt een krachtig wiskundig raamwerk voor het ontwerp en de analyse van Sliding Mode Control voor DC-DC converters.

• Praktische toepassing: De methode geeft ontwerpers een kwantitatief criterium om te bepalen of een lineaire rimpelbenadering veilig kan worden gebruikt voor een specifieke schakelfrequentie en hysteresis-instelling.
• Stabiliteitsgarantie: Door het gebruik van LMI's wordt stabiliteit bewezen voor het volledige niet-lineaire systeem, niet alleen voor het gelijneerde model.
• Algemene geldigheid: Hoewel de Ćuk-converter als voorbeeld dient, is de methode algemeen toepasbaar op andere DC-DC converters en schakelende systemen.

Samenvattend demonstreert dit onderzoek hoe convex optimalisatie (LMI) kan worden gebruikt om de grenzen van klassieke benaderingen in de vermogenselektronica te definiëren en om robuuste schakelstrategieën te ontwerpen.