CO$_2$ sequestration hybrid solver using isogeometric alternating-directions and collocation-based robust variational physics informed neural networks (IGA-ADS-CRVPINN)

Titel: Hybride solver voor CO2-sequestratie met behulp van Isogeometrische Analyse, Alternatieve Richtingen en Robuste Variationale Physics-Informed Neural Networks (IGA-ADS-CRVPINN)

Auteurs: Askold Vilkha, Tomasz Służalec, Marcin Łoś, Maciej Paszyński (AGH University of Krakow, Polen)

1. Probleemstelling

Het artikel richt zich op de simulatie van CO2-sequestratie (opslag van kooldioxide) in ondergrondne porieuze structuren, zoals verlaten olievelden of aquifers. Het doel is het modelleren van het fysische gedrag van CO2-injectie in een zoutwateroplossing (brine), waarbij chemische reacties worden genegeerd.

De wiskundige basis is Darcy's Wet, wat leidt tot een gekoppeld systeem van partiële differentiaalvergelijkingen (PDE's) voor:

1. Verzadiging ($S_g$): Een tijdsafhankelijke vergelijking die beschrijft hoe de gasverzadiging evolueert.
2. Druk ($p$): Een stationaire (tijdsonafhankelijke) vergelijking die de drukverdeling bepaalt op basis van de huidige verzadiging.

De uitdaging ligt in het efficiënt oplossen van dit gekoppelde systeem. Traditionele methoden vereisen het oplossen van een groot lineair systeem voor de drukverdeling bij elke tijdstap, wat computergewijs zeer kostbaar is.

2. Methodologie: De Hybride IGA-ADS-CRVPINN Solver

De auteurs stellen een hybride aanpak voor die twee verschillende numerieke methoden combineert om de specifieke eigenschappen van elke vergelijking te benutten:

• Voor de Verzadiging (Saturation): IGA-ADS

  • Methode: IsoGeometrische Analyse (IGA) met een Alternatieve Richtingen-oplosser (ADS).
  • Techniek: Gebruikt B-spline basisfuncties voor discretisatie. De tijdsafhankelijke verzadigingsvergelijking wordt opgelost met een expliciete methode (Forward Euler).
  • Voordeel: De ADS-methode maakt gebruik van de Kronecker-productstructuur van de Gram-matrix (op een regelmatig rooster), wat het mogelijk maakt om de lineaire systemen zeer efficiënt op te lossen met lineaire kost ($O(N)$) via de Thomas-algoritme.

• Voor de Druk (Pressure): CRVPINN

  • Methode: Collocation-based Robust Variational Physics Informed Neural Networks.
  • Techniek: In plaats van een traditionele lineaire solver (zoals MUMPS) te gebruiken voor de stationaire drukvergelijking, wordt een neurale netwerk gebruikt om de druk te benaderen.
  • Robuustheid: De CRVPINN gebruikt een "robust loss function". Dit wordt bereikt door de zwakke residualen te vermenigvuldigen met de inverse van de Gram-matrix (berekend met Kronecker-delta testfuncties). Dit zorgt voor inf-sup stabiliteit en vermindert de afhankelijkheid van dure integraties.
  • Implementatie: Het netwerk wordt voorgeïmplementeerd (pre-trained) op de initiële drukconfiguratie. Voor elke volgende tijdstap worden slechts 100 iteraties van de Adam-optimizer uitgevoerd om de drukupdate te berekenen, gebruikmakend van de nieuwe verzadigingsverdeling als input.

3. Belangrijkste Bijdragen

1. Hybride Architectuur: De eerste integratie van IGA-ADS (voor verzadiging) met CRVPINN (voor druk) voor CO2-sequestratieproblemen.
2. Efficiëntie: Het vervangen van de dure directe solver (MUMPS) voor de drukvergelijking door een snelle neurale netwerk-benadering.
3. Robuuste Loss-functie: Toepassing van de CRVPINN-methode, die de stabiliteit van de oplossing garandeert door de inverse van de Gram-matrix in de loss-functie te integreren, in plaats van alleen de sterke residualen van standaard PINN's te gebruiken.
4. Scalabiliteit: De methode werkt effectief op zowel high-performance computing (HPC) clusters (met GPU's) als op beperkte hardware (zoals laptops of Google Colab).

4. Resultaten

De auteurs hebben de hybride solver getest tegen een baseline (IGA-ADS gekoppeld met de MUMPS directe solver) op drie verschillende configuraties met variërende porositeits- en permeabiliteitskaarten (K1, K2, K3).

• Nauwkeurigheid:
  • Bij uniforme permeabiliteit: De CRVPINN-resultaten komen zeer goed overeen met de MUMPS-resultaten (relatieve fout < 5%).
  • Bij niet-uniforme (realistische) permeabiliteitskaarten: De overeenkomst blijft redelijk, met een relatieve fout van ongeveer 15-20% in sommige gebieden. De prestaties verbeteren bij sterkere injectiebronnen.
• Performance (Snelheid):
  • De tests werden uitgevoerd op een node van het ARES-cluster (ACK CYFRONET) met een Intel Xeon CPU en een NVIDIA A100 GPU.
  • MUMPS-baseline: De totale rekentijd voor 1000 tijdstappen bedroeg ongeveer 10.800 seconden (waarvan ~5800s voor de drukoplosser).
  • Hybride IGA-ADS-CRVPINN: De totale rekentijd bedroeg ongeveer 3.400 seconden (inclusief communicatie en training).
  • Conclusie: De hybride solver is meer dan 3 keer sneller dan de traditionele methode.
  • Opmerking: De initiële pre-training van het neurale netwerk duurt ongeveer 500-600 seconden, maar de update per tijdstap kost slechts 3-5 seconden.

5. Betekenis en Toekomstperspectief

De studie toont aan dat Physics-Informed Neural Networks (PINN's) een krachtig alternatief kunnen zijn voor traditionele lineaire solvers in specifieke componenten van complexe fysische simulaties, vooral wanneer de berekening van de drukverdeling de bottleneck vormt.

• Toekomstig werk:
  • Oplossen van inverse problemen: Het identificeren van de optimale locatie voor injectieputten en het kalibreren van reservoirparameters.
  • Toepassing op H2-opslag (waterstof).
  • Verdere optimalisatie van de communicatiekosten tussen de IGA-ADS en CRVPINN modules en parallelisatie over meerdere GPU's.
  • Implementatie van $hp$-adaptieve methoden voor hogere nauwkeurigheid.

Samenvattend biedt deze hybride solver een snelle, betrouwbare en schaalbare oplossing voor het simuleren van CO2-opslag, wat essentieel is voor het ontwikkelen van strategieën tegen klimaatverandering.