Steady Incremental Viscosity Splitting Method for solving the stationary Navier-Stokes equation

Technische Samenvatting: Steady Incremental Viscosity Splitting-methode voor stationaire Navier-Stokes-vergelijkingen

Probleemstelling
Het artikel behandelt de numerieke oplossing van de stationaire, incompressibele Navier-Stokes-vergelijkingen met grad-div stabilisatie. De besturende vergelijkingen zijn:
$$-\nu\Delta \mathbf{u} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} + \nabla p - \gamma\nabla(\nabla \cdot \mathbf{u}) = \mathbf{f}, \quad \nabla \cdot \mathbf{u} = 0$$
in een domein $\Omega$, met homogene Dirichlet-randvoorwaarden. De auteurs merken op dat het oplossen van de resulterende niet-symmetrische zadelpunt-lineaire systemen (voortkomend uit standaard Picard-linearisatie) computatieel duur is, met name voor 3D-problemen waarbij directe oplossers falen door geheugenbeperkingen en iteratieve oplossers worstelen met de zadelpuntstructuur. Hoewel splitsingsmethoden goed gevestigd zijn voor onstabiele stromingen, is hun toepassing op echt stationaire problemen minder ontwikkeld.

Methodologie
De auteurs stellen een Steady Incremental Viscosity Splitting (SIVS)-methode voor. Deze aanpak past het Incremental Viscosity Splitting (IVS)-schema, dat eerder werd gebruikt voor onstabiele stromingen, aan op de stationaire context. De methode werkt als een iteratief vast-puntschema:

1. Stap 1 (Snelheidsvoorspelling): Gegeven de vorige iteratie $(\mathbf{u}^{k-1}, p^{k-1})$, los een elliptische PDE op voor een tussenliggende snelheid $\tilde{\mathbf{u}}^k$:
   $$a(\tilde{\mathbf{u}}^k, \mathbf{v}) + c^*(\mathbf{u}^{k-1}, \tilde{\mathbf{u}}^k, \mathbf{v}) + b(p^{k-1}, \mathbf{v}) = \langle \mathbf{f}, \mathbf{v} \rangle$$
   Hier omvat de bilineaire vorm $a(\cdot, \cdot)$ de viskeuze term en de grad-div stabilisatieterm ($\gamma$).

2. Stap 2 (Drukcorrectie en Projectie): Los de bijgewerkte snelheid $\mathbf{u}^k$ en druk $p^k$ op door de tussenliggende oplossing te corrigeren:
   $$a(\mathbf{u}^k - \tilde{\mathbf{u}}^k, \mathbf{v}) + b(p^k - p^{k-1}, \mathbf{v}) = 0$$
   $$b(q, \mathbf{u}^k) = 0$$
   Deze stap zorgt ervoor dat de uiteindelijke snelheid divergentievrij is en voldoet aan de randvoorwaarden.

Algebraïsche Interpretatie
Het artikel interpreteert SIVS als een algebraïsche splitsingsmethode. Door een Incomplete LU (ILU)-decompositie uit te voeren op de systeemmatrix, tonen de auteurs aan dat SIVS overeenkomt met een specifieke blokfactorisatie waarbij de Schur-complementmatrix $S = -B\tilde{A}^{-1}B^T$ (met $\tilde{A}$ die de lineaire viskeuze operator voorstelt) spectrale equivalentie heeft met de drukmassamatrix. Cruciaal is dat, in tegenstelling tot standaard Picard-iteraties die bij elke stap het inverteren van een andere Schur-complement vereisen, het SIVS-schema het oplossen van een systeem met een vaste SPD-matrix voor de drukvariabele vereist over alle niet-lineaire iteraties heen. Dit maakt het vooraf berekenen en hergebruiken van preconditioners mogelijk, wat de computatiekosten aanzienlijk verlaagt.

Belangrijkste Bijdragen en Theoretische Resultaten

• Nieuw Schema: Introductie van de SIVS-methode voor stationaire Navier-Stokes-vergelijkingen met grad-div stabilisatie, waarbij wordt gegarandeerd dat het discrete snelheidsveld divergentievrij is en voldoet aan volledige Dirichlet-randvoorwaarden.
• Convergentieanalyse: De auteurs bewijzen de uniforme begrensdheid van de iteraties en geometrische convergentie van het schema onder een smallheidvoorwaarde voor de data ($\Lambda < 1/\sqrt{2}$).
• Algebraïsche Efficiëntie: De methode blijkt een algebraïsche splitsingsaanpak te zijn die de snelheids- en drukoplossingen ontkoppelt in eenvoudigere lineaire systemen in vergelijking met het standaard gekoppelde zadelpuntsysteem.

Numerieke Resultaten
De auteurs valideren de methode met FreeFem++ met Taylor-Hood ($P_2, P_1$) elementen in drie testcases:

1. Convergentietest: Met een vervaardigde oplossing bereikte de methode de verwachte optimale convergentiesnelheden voor snelheid, druk en divergentiefouten. Het aantal niet-lineaire iteraties bleef uniform over meshverfijningen.
2. 2D Drijvend Deksel: Het schema werd getest bij Reynolds-getallen tot $Re=5000$. Resultaten voor snelheidsprofielen en stroomlijnen kwamen nauwkeurig overeen met referentiedata (Ghia et al.). Het aantal iteraties was vergelijkbaar met de Incremental Picard-Yosida (IPY)-methode, maar de auteurs verwachten een lagere CPU-tijd vanwege de eenvoudigere lineaire systemen.
3. 3D Stroming om een Cilinder: Een benchmarkprobleem werd opgelost met $Re \approx 450$ (gebaseerd op $\nu=10^{-3}$). Het schema convergeerde in 11 niet-lineaire iteraties, waarbij weerstand, lift en drukverliescoëfficiënten binnen de in de literatuur vermelde referentie-intervallen vielen.
4. Invloed van Parameter: Tests met de grad-div parameter $\gamma$ gaven aan dat grotere waarden van $\gamma$ de convergentie naar de stationaire toestand versnellen, hoewel ze de conditie van het lineaire systeem in Stap 1 kunnen verslechteren.

Betekenis
Het artikel stelt dat de SIVS-methode een computatieel efficiënt alternatief biedt voor standaard Picard-linearisaties voor stationaire incompressibele stromingen. Door gebruik te maken van grad-div stabilisatie en algebraïsche splitsing, levert de methode eenvoudigere lineaire systemen op die makkelijker te preconditioneren en iteratief op te lossen zijn. Dit maakt de aanpak bijzonder geschikt voor grootschalige 3D-problemen waarbij directe oplossers niet haalbaar zijn. De auteurs concluderen dat de methode lage aantallen iteraties behoudt terwijl het standaard benchmarks nauwkeurig reproduceert, wat wijst op de levensvatbaarheid ervan voor complexe multiphysica-toepassingen.