A note on Azumaya algebras and one-forms

Technische Samenvatting: Een Opmerking over Azumaya-algebra's en 1-vormen

Probleemstelling
In de context van algebraïsche meetkunde over een algebraïsch gesloten lichaam $k$ met karakteristiek $p > 0$, definieert de schaal van kristallijne differentiaaloperatoren op een gladde, eigentijdse variëteit $X$ een Azumaya-algebra, aangeduid als $A_X$, op de cotangentbundel $T^*X'$ van de Frobenius-draaiing $X'$. Hoewel bekend is dat $A_X$ splitst wanneer deze wordt beperkt tot bepaalde spectrale variëteiten (een fenomeen dat wordt benut in de meetkundige Langlands-theorie in karakteristiek $p$ en de niet-abelse Hodge-theorie), bleef een specifieke vraag open over het bestaan van variëteiten waarbij deze splitsing faalt.

Sasha Petrov stelde de volgende vraag (Vraag 1 in het artikel): Bestaat er een gladde, eigentijdse variëteit $X$ en een gladde deelvariëteit $Z \subset T^*X'$, die eindig is over $X'$, zodanig dat de restrictie $A_X|_Z$ niet splitst?

Methodologie
Het artikel behandelt deze vraag door de relatie te analyseren tussen de splitsing van de Azumaya-algebra en de cohomologische eigenschappen van globale 1-vormen op $X$. De methodologie verloopt via de volgende logische stappen:

1. Milne's Exacte Sequentie: De auteur maakt gebruik van Milne's exacte sequentie van étale schalen op $X'$, die de multiplicatieve groep, de Frobenius-aandrijving van de multiplicatieve groep, gesloten 1-vormen en de schaal van alle 1-vormen met elkaar verbindt. Deze sequentie omvat de Cartier-operator $C_X$ en de $d\log$-afbeelding.
2. Obstructie-homomorfisme: Door de exacte sequentie te samenvoegen, wordt een verbindende morfisme gedefinieerd, wat leidt tot een obstructie-homomorfisme:
   $$ob_{X'}: H^0(X', \Omega^1_{X'/k}) \to H^2_{\text{ét}}(X', \mathcal{O}^*_{X'})$$
   Deze afbeelding meet de obstructie voor het splitsen van de algebra.
3. Gerbe-identificatie: Met verwijzing naar Ogus–Vologodsky identificeert het artikel $ob_{X'}(\omega)$ met de klasse van de $\mathbb{G}_m$-gerbe van lijnbundels op $X$ met integreerbare connectie en $p$-kromming $\omega$. Cruciaal wordt deze gerbe ook geïdentificeerd als de gerbe van splitsingen van $A_X$ beperkt tot het sectie $i_\omega: X' \to T^*X'$ dat correspondeert met een globale 1-vorm $\omega$.
4. Dimensionale Analyse van Picard-schema's: Om te bepalen wanneer $ob_{X'}$ niet-nul is, analyseert het artikel het gerigidificeerde Picard-schema van lijnbundels met integreerbare connectie, aangeduid als $G$. Met behulp van Cartier-descent en eigenschappen van de $p$-krommingsmorfisme $\psi: G \to V$ (waarbij $V$ de vectorgroep van globale 1-vormen is), vergelijkt de auteur de afmetingen van het beeld van $\psi$ en de ruimte van globale 1-vormen.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten
Het artikel vestigt de volgende hoofdresultaten:

• Lemma 2: Voor een gladde variëteit $X$ en een globale 1-vorm $\omega \in H^0(X', \Omega^1_{X'/k})$ is de klasse van de beperkte Azumaya-algebra $[i_\omega^* A_X]$ in $H^2_{\text{ét}}(X', \mathcal{O}^*_{X'})$ exact $ob_{X'}(\omega)$. Bijgevolg, als $ob_{X'}(\omega) \neq 0$, splitst de algebra niet op de grafiek $\Gamma_\omega$.
• Propositie 3: Als $X$ een gladde, eigentijdse, samenhangende variëteit is waarbij niet elke globale 1-vorm gesloten is (d.w.z. $H^0(X, Z^1_{X/k}) \subsetneq H^0(X, \Omega^1_{X/k})$), dan is de obstructie-afbeelding $ob_{X'}$ niet-nul. Het bewijs toont aan dat het beeld van de $p$-krommingsmorfisme strikt kleiner is dan de ruimte van alle globale 1-vormen vanwege dimensionale beperkingen op de componenten van het Picard-schema.
• Stelling 4 (Hoofdresultaat): Als $X$ een niet-gesloten globale 1-vorm bezit, bestaat er een gladde deelvariëteit $Z \subset T^*X'$ (specifiek, de grafiek van een niet-gesloten vorm) die eindig is over $X'$ (in feite een isomorfisme) zodanig dat $A_X|_Z$ niet splitst.

Voorbeelden en Betekenis
Het artikel levert bevestigende voorbeelden in elke positieve karakteristiek:

• Voorbeelden van Oppervlakken: Het verwijst naar Mumford's constructie van gladde projectieve oppervlakken met niet-gesloten globale 1-vormen. Het merkt ook op dat gegeneraliseerde Raynaud-oppervlakken, geconstrueerd door Takeda (oorspronkelijk voor $p>2$), ook aan deze voorwaarde voldoen voor $p=2$.
• Hogere Dimensies: Producten van deze oppervlakken met projectieve ruimten $X \times \mathbb{P}^n_k$ leveren voorbeelden in hogere dimensies op.

Betekenis en Beperkingen
Het artikel beantwoordt Vraag 1 bevestigend, en toont aan dat de splitsing van de Azumaya-algebra van kristallijne differentiaaloperatoren niet gegarandeerd is, zelfs niet op eindige overdekkingen (specifiek, overdekkingen van graad één) van de basis, als de variëteit niet-gesloten globale 1-vormen toelaat.

De auteur merkt een direct gevolg op met betrekking tot liften: door de stelling van Deligne–Illusie, als de Hodge-naar-de Rham spectrale sequentie degenereert bij $E_1$, moeten alle globale 1-vormen gesloten zijn. Derhalve kunnen de variëteiten die in dit artikel worden geconstrueerd (die niet-gesloten vormen hebben) niet worden gelift naar de ring van tweede Witt-vectoren $W_2(k)$. Het artikel blijft bescheiden, en positioneert zijn bijdrage als een oplossing voor een specifieke vraag gesteld door Petrov, zonder bredere toepassingen of toekomstige experimentele voorstellen voor te stellen buiten de onmiddellijke meetkundige context.