Phase and coherence retrieval from near- and far-field intensities

Technische Samenvatting: Fase- en Coherentie-reconstructie uit Nabijveld- en Verreveld-intensiteiten

Probleemstelling
Het kwantificeren van de coherentie-eigenschappen van complexe optische velden is cruciaal voor toepassingen variërend van krachtige laserarrays tot coherente kwantumsystemen. Hoewel iteratieve fase-reconstructiealgoritmen, zoals het Gerchberg–Saxton (GS) raamwerk, de standaard zijn voor het reconstrueren van complexe velden uit intensiteitsmetingen, gaan zij doorgaans uit van volledig coherente velden. Veel belangrijke fysieke systemen, waaronder grote laserarrays, röntgen- of elektronenbundels en gestructureerde kwantumtoestanden, vertonen slechts gedeeltelijke ruimtelijke coherentie. In deze gevallen kan het veld niet worden beschreven door een eenvoudige complexe amplitude, maar vereist het een vierdimensionale wederzijdse intensiteitsfunctie, $J(r, r') = \langle E^*(r)E(r') \rangle$, die de eerste-orde ruimtelijke coherentie vertegenwoordigt. Bestaande reconstructiemethoden vertrouwen vaak op restrictieve aannames (bijv. homogene coherentie, bekende modale bases of laag-rang dichtheidsmatrices) of falen bij het reconstrueren van de volledige wederzijdse intensiteit uit intensiteitsmetingen in slechts twee vlakken (nabijveld en verreveld).

Methodologie
De auteurs stellen een nieuw paradigma voor voor het reconstrueren van de volledige wederzijdse intensiteit van gedeeltelijk coherente velden uit intensiteitsmetingen in twee Fourier-geconjugeerde vlakken. De aanpak past het GS-algoritme aan om de wederzijdse intensiteit iteratief te propageren en te projecteren tussen de nabijveld- en verreveld-domeinen. Twee complementaire implementaties zijn ontwikkeld:

1. Tensor GS-algoritme: Deze methode reconstrueert direct de wederzijdse intensiteit door alternerende projecties toe te passen op de vierdimensionale wederzijdse intensiteitstensor. Het proces omvat:

   • Het propageren van de wederzijdse intensiteit tussen vlakken met behulp van vierdimensionale Fourier-transformaties.
   • Het afdwingen van doel-intensiteitsrestricties door de diagonale elementen van de wederzijdse intensiteit te projecteren op de gemeten nabijveld- en verreveld-intensiteiten.
   • Het bijwerken van de off-diagonale elementen om de onderliggende coherentiestructuur te behouden en tegelijkertijd Hermitische symmetrie en fysieke consistentie af te dwingen (waarbij $|\tilde{g}_1(k, k')| \leq 1$ wordt gewaarborgd).
   • Itereren tot convergentie.

2. Monte Carlo (MC) GS-variant: Om de computationele kosten van vierdimensionale Fourier-transformaties te verminderen, representeert deze methode het gedeeltelijk coherente veld als een ensemble van $P$ onafhankelijke willekeurige complexe realisaties.

   • Veldamplitudes worden tussen vlakken gepropageerd met behulp van standaard tweedimensionale Fourier-transformaties.
   • Veldamplitudes worden in elke stap vermenigvuldigd met een gemeenschappelijke functie om ervoor te zorgen dat de ensemble-gemiddelde intensiteit overeenkomt met de doel-intensiteit.
   • De wederzijdse intensiteit wordt geschat door middel van ensemble-averaging over de $P$ realisaties.
   • De nauwkeurigheid schaalt als $1/\sqrt{P}$, wat een gecontroleerde benadering mogelijk maakt. De computationele complexiteit schaalt als $PM \log(M)$ (waarbij $M$ het aantal ruimtelijke modi is), vergeleken met $M^2 \log(M)$ voor de Tensor GS-methode.

Belangrijkste Bijdragen

• Algemeen Reconstructieraamwerk: Het artikel presenteert een algemene methode voor het reconstrueren van de volledige ruimtelijke wederzijdse intensiteit uit intensiteitsmetingen in slechts twee vlakken, zonder dat daarvoor vooraf gedefinieerde modale bases, laag-rang parametrisering of meerdere detectievlakken nodig zijn.
• Duale Algoritmische Benaderingen: De introductie van zowel een hoog-nauwkeurige Tensor GS-methode als een computationeel efficiënte MC GS-variant biedt flexibiliteit voor verschillende systeemgroottes en nauwkeurigheidseisen.
• Omgaan met Inhomogeniteit: De methoden zijn specifiek ontworpen om ruimtelijk inhomogene gedeeltelijk coherente velden te verwerken, een regime waarin traditionele inverse Fourier-transformatie (IFT) benaderingen falen.

Resultaten
De auteurs hebben beide methoden gevalideerd via numerieke simulaties en experimentele demonstraties:

• Numerieke Simulaties:
  • Lineaire Arrays: Simulaties op lineaire arrays van tot $N=600$ Gaussische bundels met een voorgeschreven Gaussisch vervallende coherentie toonden aan dat, terwijl IFT-methoden de coherentie alleen accuraat reconstrueren voor korte coherentielengtes ($\xi \ll Nd$), zowel de Tensor GS- als de MC GS-methoden de nauwkeurigheid behouden wanneer de coherentielengte de array-grootte overschrijdt ($\xi > Nd$), waarbij de wederzijdse intensiteit sterk inhomogeen wordt.
  • Ring-Arrays: Simulaties op ring-arrays ($N=50$) toonden aan dat de IFT-methode kwalitatief faalt door de breuk van de aannames van translationele invariantie. In tegenstelling hiertoe herstelden beide voorgestelde methoden accuraat de correcte structuur van de wederzijdse intensiteit, waarbij Tensor GS een hoog-getrouwe reconstructie leverde en MC GS een computationeel efficiënte benadering bood.
• Experimentele Demonstratie:
  • De Tensor GS-methode werd toegepast op een driehoekige array van 130 gekoppelde lasers met gecontroleerde koppeling en gestaffelde chiraliteit.
  • Het systeem genereerde toestanden met een niet-monotone wederzijdse coherentie-afname en niet-triviale fasen (gestaffelde anti-vortex en een gelijke superpositie van vortex/anti-vortex toestanden).
  • De reconstructie bereikte een uitstekende overeenkomst met de theorie, waarbij de verwachte fase-windingen (bijv. $2\pi/3$) en de Gaussische afname van de coherentie-amplitude werden gereproduceerd.
  • De RMS-fout (root-mean-square) van de fase werd gemeten op $2\pi/250$ voor de gestaffelde anti-vortex staat en $2\pi/65$ voor de gelijke superpositie staat.

Betekenis en Claims
Het artikel stelt dat deze resultaten aangeven dat de aanpak praktisch bruikbaar is voor het karakteriseren van grootschalige gedeeltelijk coherente optische systemen. De methoden complementeren bestaande tomografische benaderingen door de noodzaak van voorkennis over de coherentiestructuur of meerdere detectievlakken weg te nemen. De auteurs merken op dat hoewel de theoretische uniciteit van wederzijdse intensiteit-reconstructie uit twee Fourier-geconjugeerde vlakken een open vraag blijft, hun numerieke en experimentele resultaten stabiele convergentie naar fysiek betekenisvolle oplossingen aantonen voor sterk inhomogene coherentiestructuren en robuustheid tegen experimentele ruis.

Het werk suggereert potentiële toekomstige uitbreidingen, zoals het incorporeren van vrije-ruimte propagatie om velden te reconstrueren uit niet-Fourier-geconjugeerde vlakken en het toepassen van het raamwerk op kwantumtomografie, gezien de formele analogie tussen wederzijdse intensiteit-reconstructie en dichtheidsmatrix-reconstructie. De paper houdt echter een bescheiden standpunt aan, waarbij de focus ligt op het gedemonstreerde vermogen om fase en coherentie in specifieke, uitdagende inhomogene systemen te reconstrueren zonder de claims uit te breiden naar willekeurige optische velden.