Phase and coherence retrieval from near- and far-field intensities

Résumé technique : Récupération de la phase et de la cohérence à partir d'intensités en champ proche et en champ lointain

Énoncé du problème
La quantification des propriétés de cohérence des champs optiques complexes est cruciale pour des applications allant des réseaux de lasers de haute puissance aux systèmes quantiques cohérents. Bien que les algorithmes de récupération de phase itératifs, tels que le cadre de Gerchberg–Saxton (GS), soient standards pour reconstruire des champs complexes à partir de mesures d'intensité, ils supposent généralement des champs pleinement cohérents. De nombreux systèmes physiques importants, notamment les réseaux de lasers de grande taille, les faisceaux de rayons X ou d'électrons et les états quantiques structurés, ne présentent qu'une cohérence spatiale partielle. Dans ces cas, le champ ne peut pas être décrit par une simple amplitude complexe mais nécessite une fonction d'intensité mutuelle quadridimensionnelle, $J(r, r') = \langle E^*(r)E(r') \rangle$, représentant la cohérence spatiale de premier ordre. Les méthodes de reconstruction existantes reposent souvent sur des hypothèses restrictives (par exemple, la cohérence homogène, des bases modales connues ou des matrices de densité de faible rang) ou échouent à récupérer l'intensité mutuelle complète à partir de mesures d'intensité dans seulement deux plans (champ proche et champ lointain).

Méthodologie
Les auteurs proposent un nouveau paradigme pour reconstruire l'intensité mutuelle complète de champs partiellement cohérents à partir de mesures d'intensité dans deux plans de Fourier conjugués. L'approche adapte l'algorithme GS pour propager et projeter de manière itérative l'intensité mutuelle entre les domaines du champ proche et du champ lointain. Deux implémentations complémentaires sont développées :

1. Algorithme Tensor GS : Cette méthode reconstruit directement l'intensité mutuelle en appliquant des projections alternées au tenseur d'intensité mutuelle quadridimensionnel. Le processus implique :

   • La propagation de l'intensité mutuelle entre les plans en utilisant des transformées de Fourier quadridimensionnelles.
   • L'application de contraintes d'intensité cible en projetant les éléments diagonaux de l'intensité mutuelle sur les intensités mesurées en champ proche et en champ lointain.
   • La mise à jour des éléments hors diagonale pour préserver la structure de cohérence sous-jacente tout en respectant la symétrie hermitienne et la cohérence physique (en garantissant que $|\tilde{g}_1(k, k')| \leq 1$).
   • L'itération jusqu'à convergence.

2. Variante MC GS (Monte Carlo) : Pour réduire le coût computationnel associé aux transformées de Fourier quadridimensionnelles, cette méthode représente le champ partiellement cohérent comme un ensemble de $P$ réalisations complexes aléatoires indépendantes.

   • Les champs sont propagés entre les plans à l'aide de transformées de Fourier bidimensionnelles standards.
   • Les amplitudes de champ sont multipliées par une fonction commune à chaque étape pour garantir que l'intensité moyenne de l'ensemble corresponde à l'intensité cible.
   • L'intensité mutuelle est estimée par une moyenne d'ensemble sur les $P$ réalisations.
   • La précision suit une loi en $1/\sqrt{P}$, permettant une approximation contrôlée. La complexité computationnelle est de l'ordre de $PM \log(M)$ (où $M$ est le nombre de modes spatiaux), contre $M^2 \log(M)$ pour la méthode Tensor GS.

Principales contributions

• Cadre de reconstruction général : Le document présente une méthode générale pour reconstruire l'intensité mutuelle spatiale complète à partir de mesures d'intensité dans seulement deux plans, sans nécessiter de bases modales prédéfinies, de paramétrisation de faible rang ou de multiples plans de détection.
• Approches algorithmiques duales : L'introduction de deux méthodes, l'une de haute précision (Tensor GS) et l'autre de haute efficacité computationnelle (MC GS), offre une flexibilité pour différents systèmes et exigences de précision.
• Gestion de l'inhomogénéité : Les méthodes sont spécifiquement conçues pour traiter les champs partiellement cohérents spatialement inhomogènes, un régime où les approches traditionnelles de transformée de Fourier inverse (IFT) échouent.

Résultats
Les auteurs ont validé les deux méthodes par des simulations numériques et une démonstration expérimentale :

• Simulations numériques :
  • Réseaux linéaires : Les simulations sur des réseaux linéaires allant jusqu'à $N=600$ faisceaux gaussiens avec une cohérence décroissante gaussienne prescrite ont montré que, si les méthodes IFT récupèrent la cohérence avec précision uniquement pour de courtes longueurs de cohérence ($\xi \ll Nd$), les méthodes Tensor GS et MC GS maintiennent une précision même lorsque la longueur de cohérence dépasse la taille du réseau ($\xi > Nd$), où l'intensité mutuelle devient fortement inhomogène.
  • Réseaux en anneau : Des simulations sur des réseaux en anneau ($N=50$) ont montré que la méthode IFT échoue qualitativement en raison de la rupture des hypothèses d'invariance par translation. En revanche, les deux méthodes proposées ont récupéré avec précision la structure correcte de l'intensité mutuelle, la méthode Tensor GS fournissant une reconstruction de haute fidélité et la méthode MC GS offrant une approximation efficace sur le plan computationnel.
• Démonstration expérimentale :
  • La méthode Tensor GS a été appliquée à un réseau triangulaire de 130 lasers couplés avec un couplage contrôlé et une chiralité décalée.
  • Le système a généré des états présentant une décroissance de la cohérence mutuelle non monotone et des phases non triviales (anti-vortex décalé et superposition égale de vortex/anti-vortex).
  • La reconstruction a montré un excellent accord avec la théorie, reproduisant les enroulements de phase attendus (par exemple, $2\pi/3$) et la décroissance gaussienne de la magnitude de la cohérence.
  • L'erreur de phase RMS a été mesurée à $2\pi/250$ pour l'état anti-vortex décalé et à $2\pi/65$ pour l'état de superposition égale.

Signification et affirmations
Le document affirme que ces résultats indiquent que l'approche est pratique pour caractériser de grands systèmes optiques partiellement cohérents. Ces méthodes complètent les approches tomographiques existantes en supprimant la nécessité d'une connaissance préalable de la structure de cohérence ou de multiples plans de détection. Les auteurs notent que, bien que l'unicité théorique de la reconstruction de l'intensité mutuelle à partir de deux plans de Fourier conjugués reste une question ouverte, leurs résultats numériques et expérimentaux démontrent une convergence stable vers des solutions physiquement significatives pour des structures de cohérence fortement inhomogènes, ainsi qu'une robustesse au bruit expérimental.

Le travail suggère des extensions futures possibles, telles que l'incorporation de la propagation en espace libre pour reconstruire des champs à partir de plans non conjugués de Fourier, et l'application du cadre à la tomographie quantique, étant donné l'analogie formelle entre la reconstruction de l'intensité mutuelle et la reconstruction de la matrice de densité. Cependant, le document adopte une position modeste, se concentrant sur la capacité démontrée à reconstruire la phase et la cohérence dans des systèmes inhomogènes spécifiques et exigeants, sans étendre indûment ses affirmations à des champs optiques arbitraires.