Brauer groups of smooth loci in linear systems and torsors over Jacobians of plane curves

Technische Samenvatting: Brauer-groepen van gladde loci in lineaire systemen en torsors over Jacobians van vlakke krommen

Probleemstelling
Het artikel onderzoekt de cohomologische Brauer-groep, $Br(|L|_{sm}) := H^2_{\text{\'et}}(|L|_{sm}, \mathbb{G}_m)$, van de gladde locus $|L|_{sm}$ binnen een lineair systeem $|L|$ op een enkelvoudig verbonden glad projectief variëteit $X$. Hierbij parametriseert $|L|_{sm}$ gladde divisoren, terwijl het complement de discriminant-locus $\Delta_L$ is van singuliere divisoren. Een primaire motivatie is het begrijpen van de structuur van de Tate–Shafarevich-groep $\text{X}(\mathcal{J}) := H^1(B, \text{Pic}^0_{\mathcal{C}/B})$, die torsors classificeert over de relatieve Jacobian $\mathcal{J} \to B$ van de universele gladde kromme $\mathcal{C} \to B$ (waarbij $B = |L|_{sm}$). De auteurs beogen deze groepen te bepalen voor specifieke geometrische instellingen: vlakke krommen, primitief gepolariseerde K3-oppervlakken en cubische vierfolden.

Methodologie
De aanpak steunt op een stratificatie van de discriminant-locus $\Delta_L$ gebaseerd op het aantal singuliere punten. De auteurs definiëren $\Delta_k$ als de locus van hypersurfaces met precies $k$ singuliere punten (specifiek gewone knopen in het geval van het oppervlak) en analyseren de universele singuliere locus $\Sigma \subset |L| \times X$.

1. Ample-condities: De auteurs introduceren een set van "ample-condities" (aangeduid met $\dagger$) op de lijnbundel $L$. Deze condities garanderen dat de discriminant-locus irreducibel is, dat de locus van krommen met twee knopen ($\Delta_2$) een irreducibele divisor is, en dat de universele 2-knopen-locus $\Sigma_2$ irreducibel is. Deze condities worden geverifieerd voor specifieke gevallen met behulp van resultaten over Severi-variëteiten en jet-ampleness (bijv. 5-very ampleness).
2. Homologische berekening: Met behulp van de zuiverheid van de Brauer-groep en de Gysin-sequentie relateren de auteurs $Br(|L|_{sm})[n]$ aan de Borel–Moore-homologie van de discriminant. In het bijzonder reduceren zij de berekening tot het bepalen van of de cohomologieklasse $[\Sigma_2]$ verdwijnt in $H^2(\Sigma, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$.
3. Relatieve symmetrische producten: Om de Tate–Shafarevich-groep te berekenen, bestuderen de auteurs de Brauer-groepen van relatieve symmetrische producten $C^{(n)}_B$. Zij maken gebruik van het feit dat voor voldoende grote $n$ de Abel–Jacobi-afbeelding $C^{(n)}_B \to \mathcal{J}$ een Brauer–Severi-variëteit is (een fibratie in projectieve ruimten). Door isomorfismen tussen de Brauer-groepen van $C^{(n)}_B$ voor verschillende $n$ vast te stellen (via gesloten immersies geïnduceerd door het toevoegen van punten), relateren zij de periode van de geassocieerde Brauer-klasse aan de geometrie van de krommen.
4. Exacte sequenties: De definitieve berekening van $\text{X}(\mathcal{J})$ wordt afgeleid door de berekende Brauer-groepen te combineren met exacte sequenties voortvloeiende uit de Leray-spectraalsequentie en de korte exacte sequentie van étale sheaves $0 \to \text{Pic}^0_{\mathcal{J}/B} \to \text{Pic}_{\mathcal{J}/B} \to \text{NS}_{\mathcal{J}/B} \to 0$.

Belangrijkste Resultaten

• Algemene stelling over Brauer-groepen: Voor een enkelvoudig verbonden glad projectief variëteit $X$ en een "voldoende ample" lijnbundel $L$ die voldoet aan conditie $\dagger$, is de Brauer-groep $Br(|L|_{sm})$ hoogstens $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Specifiek verdwijnt deze als de klasse $[\Sigma_2]$ niet-nul is in $H^2(\Sigma, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$, en is deze $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ anders.
• Vlakke krommen:
  • Voor het lineaire systeem van vlakke krommen van graad $d \ge 3$, is $Br(|L|_{sm}) \cong 0$ als $d$ oneven is, en $\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ als $d$ even is.
  • Voor $d \ge 4$, wordt de Tate–Shafarevich-groep van de relatieve Jacobian gegenereerd door de torsor $\text{Pic}^1_{\mathcal{C}/B}$, wat leidt tot $\text{X}(\mathcal{J}) \cong \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$.
  • Voor $d=3$ (cubische krommen), is de Tate–Shafarevich-groep $\text{X}(\mathcal{J}) \cong \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$. Dit geval vereist een aparte behandeling vanwege de reducibiliteit van de 2-knopen-locus.
• K3-oppervlakken:
  • Voor een primitief gepolariseerd K3-oppervlak $(S, L)$ met Picard-rang één en graad $L^2 \ge 20$, is $Br(|L|_{sm}) = 0$. De conditie $L^2 \ge 20$ garandeert dat $L$ 5-very ample is.
  • Het artikel biedt tegenvoorbeelden voor K3-oppervlakken met een lage graad: voor graad 2 is de Brauer-groep groot (ten minste 343-dimensionaal over $\mathbb{F}_p$ voor elke priem $p$); voor graad 4 is $Br(|L|_{sm}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
• Cubische vierfolden: Voor een algemene gladde cubische vierfold $X$ verdwijnt de Brauer-groep van de gladde locus van het lineaire systeem $|\mathcal{O}_X(1)|$, oftewel $Br(|\mathcal{O}_X(1)|_{sm}) = 0$.

Betekenis en Claims
De auteurs presenteren hun werk als het bieden van "verrassend effectieve controle" over de Brauer-groep van de basis van lineaire systemen, een technische hindernis die vaak voorkomt in de studie van K3-oppervlakken en hyperkähler-variëteiten. De primaire bijdrage is de expliciete berekening van de Tate–Shafarevich-groep voor de relatieve Jacobian van universele gladde vlakke krommen, waarbij de generatoren en structuur worden geïdentificeerd.

Het artikel merkt op dat deze resultaten van toepassing zijn op de gladde loci van Lagrangiaanse fibraties geassocieerd met compacte hyperkähler-variëteiten van $K3^{[n]}$- en $OG10$-type (specifiek de Laza–Saccà–Voisin fibratie). Het verdwijnen van de Brauer-groep in deze hoge graden of algemene gevallen suggereert dat de gladde loci van algemene Lagrangiaanse fibraties vaak triviale Brauer-groepen hebben, een eigenschap die de studie van getwiste sheaves en moduli-ruimten vergemakkelijkt. De auteurs geven expliciet aan dat zij de geometrische realisatie van de niet-triviale Brauer–Severi-variëteiten voor even graden of de specifieke 2-torsie-twists voor cubische krommen niet behandelen, en dit als openstaande problemen laten staan.