Quantum models with the Yang-Lee phase transition

Technische Samenvatting: Kwantummodellen met de Yang-Lee Fasetransitie

Probleemstelling
De Yang-Lee (YL) fasetransitie, oorspronkelijk geïdentificeerd via de distributie van nulpunten van de partitiefunctie in het complexe magnetische veldplan van klassieke Ising-ferromagneten, wordt beschreven door een niet-unitaire Conforme Veldtheorie (CFT). In twee dimensies komt dit overeen met het minimale model $M(2, 5)$. Hoewel de Euclidische $i\phi^3$ veldentheorie een veldentheoretische beschrijving biedt van deze kritikaliteit, zijn standaard Monte Carlo-methoden die gebruikt worden voor unitaire modellen zoals het Ising-model ontoepasbaar vanwege de niet-unitaire aard van het YL-model. Bijgevolg zijn numerieke studies grotendeels beperkt gebleven tot het canonieke ferromagnetische kwantum-Isingmodel in een transversaal veld, geperturbeerd door een imaginair longitudinaal magnetisch veld. Het centrale probleem dat in dit werk wordt aangestipt, is het onderzoeken van de universaliteit van de YL CFT door aan te tonen dat deze gerealiseerd wordt in een bredere klasse van 1+1D kwantum microscopische modellen die $\mathcal{PT}$-symmetrie behouden maar verschillen in hun onderliggende roosterstructuren en symmetrieën.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van een combinatie van analytische afleidingen en numerieke simulaties om de aanwezigheid van YL-kritikaliteit vast te stellen in vier verschillende kwantummodellen:

1. Analytisch Kader:

   • Polyakov-Hubbard (PH) Transformatie: Gebruikt om klassieke roostermodellen (Ising, Blume-Capel, Clock) te mappen naar effectieve Euclidische Landau-Ginzburg-Wilson (LGW) acties. Dit stelt de auteurs in staat om de continue veldentheorieën af te leiden en de voorwaarden (specifiek de imaginair magnetische veld-deformaties) te identificeren waaronder de actie reduceert tot de massaloze $i\phi^3$ theorie.
   • Bosonisatie: Toegepast op het massieve Schwinger-model om de fermionische theorie te mappen naar een bosonische veldentheorie, wat de identificatie van de relevante deformatie-termen vergemakkelijkt die $\mathcal{PT}$-symmetrie behouden terwijl ze de $Z_2$-symmetrie breken.
   • Mean-Field Analyse: Gebruikt om kritische waarden voor de imaginaire velden te schatten en de fasediagrammen van de modellen te bepalen.

2. Numerieke Benadering:

   • Hamiltoniaan Formulering: De auteurs construeren rooster-Hamiltonianen voor het antiferromagnetische Ising-model, het Schwinger-model, het Blume-Capel-model, en het drie-toestanden kwantum-clock-model, elk gedeformeerd door specifieke imaginaire velden (longitudinaal, gestaffeld of pseudo-scalair).
   • Density Matrix Renormalization Group (DMRG): Numerieke spectra van de niet-Hermitische maar $\mathcal{PT}$-symmetrische Hamiltonianen worden berekend met de DMRG-methode (via de iTensor library) voor eindige systeemgroottes ($N$).
   • Finite-Size Scaling (FSS) en State-Operator Correspondentie: De schalingdimensies van operatoren worden geëxtraheerd uit de energie-gaps van het Hamiltonian-spectrum met behulp van de relatie $E_n - E_0 \propto \frac{2\pi v}{N} \Delta_n$. De pseudo-kritische punten worden geïdentificeerd met behulp van kritikaliteitscriteria (bijv. Eq. 6.5) en geëxtrapoleerd naar het thermodynamische limiet ($N \to \infty$) met behulp van het Bulirsch-Stoer (BST) algoritme.
   • Correlatiefuncties: Twee-puntsfuncties van de primaire operator $\phi$ worden numeriek berekend om hun groei met afstand te verifiëren, een signatuur van de negatieve schalingdimensie in de YL CFT.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten
Het artikel presenteert vier verschillende kwantummodellen die het Yang-Lee kritische punt realiseren onder $\mathcal{PT}$-symmetrische deformaties:

1. Antiferromagnetisch Kwantum Ising-model:

   • De auteurs tonen aan dat een ferromagnetisch Ising-model in een imaginair longitudinaal veld YL-kritikaliteit oplevert, terwijl de antiferromagnetische versie in een uniform imaginair veld dat niet doet (het blijft in de Ising universaliteitsklasse).
   • Echter, door een imaginair gestaffeld longitudinaal magnetisch veld te introduceren, wordt aangetoond dat het antiferromagnetische model een oppervlak van Yang-Lee kritische punten bezit.
   • Numerieke resultaten voor schalingdimensies ($\Delta_\phi \approx -0.4003$) en de effectieve centrale lading ($c_{\text{eff}} \approx 0.3996$) komen overeen met de exacte $M(2, 5)$ waarden ($\Delta_\phi = -2/5$, $c_{\text{eff}} = 2/5$) binnen $10^{-4}$.

2. Massief Schwinger-model:

   • Het Schwinger-model bij $\theta = \pi$ (Ising kritisch punt) wordt gedeformeerd door een imaginair pseudo-scalair massaterm.
   • Bosonisatie onthult dat deze deformatie de ladingsconjugaat ($Z_2$) symmetrie breekt maar $\mathcal{PT}$-symmetrie behoudt, wat leidt tot de $i\phi^3$ theorie.
   • Numerieke extractie van de kritische massa $m_{5,c}$ en schalingdimensies bevestigt de YL universaliteitsklasse, waarbij de resultaten de theoretische voorspellingen evenaren tot binnen $10^{-3}$.

3. Spin-1 Blume-Capel Model:

   • Het model wordt gedeformeerd door een imaginair longitudinaal magnetisch veld.
   • De studie bevestigt het bestaan van "vleugel"-oppervlakken van YL kritische punten die verbonden zijn aan de Ising kritische lijn in het $(\alpha, h_x)$ vlak.
   • De auteurs verifiëren het bestaan van YL edge-lijnen die uitgaan van het tricritische Ising-punt, die voorheen werden vermoed te worden beschreven door het $M(2, 7)$ minimale model.

4. Drie-toestanden Kwantum Clock (Potts) Model:

   • Dit model wordt gedeformeerd door een term die $Z_3$ symmetrie breekt maar een specifieke $\mathcal{PT}$ combinatie behoudt.
   • De LGW-analyse voorspelt dat voor bepaalde deformatieparameters de massaloze YL-veld ontkoppelt van een massief veld.
   • Numerieke spectra bevestigen de aanwezigheid van zowel massaloze YL-toestanden als massieve toestanden. De schalingdimensies van de massaloze sector stemmen overeen met de YL CFT, terwijl de massieve toestanden energie-gaps vertonen die lineair groeien met de systeemgrootte.
   • Daarnaast verkent het artikel een deformatie van het clock-model die $Z_2$ symmetrie behoudt, waarmee succesvol een Ising kritisch punt is geïdentificeerd dat samen bestaat met massieve toestanden, onderscheidend van de YL-transitie.

Verificatie van CFT Voorspellingen
Gebruikmakend van het ferromagnetische kwantum-Isingmodel als baseline, berekenen de auteurs numeriek de structuurconstante $C_{\phi\phi\phi}$ en de twee-punts correlatiefunctie $\langle I | \phi_0 \phi_x | I \rangle$.

• De structuurconstante wordt berekend als $C_{\phi\phi\phi} \approx 1.91i$, wat overeenkomt met de exacte waarde afgeleid van het minimale model.
• De twee-punts functie wordt getoond te groeien met afstand $x$, consistent met de negatieve schalingdimensie $\Delta_\phi = -2/5$, een uniek kenmerk van niet-unitaire CFT's.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt de universaliteit van het Yang-Lee kritische punt aan te tonen over diverse 1+1D kwantumsystemen. Door de effectieve $i\phi^3$ veldentheorie voor elk model af te leiden via PH-transformaties of bosonisatie, stellen de auteurs vast dat de YL fasetransitie een robuust fenomeen is dat optreedt in systemen met $\mathcal{PT}$-symmetrie, mits de deformatie de relevante discrete symmetrie (bijv. $Z_2$ of $Z_3$) breekt zonder $\mathcal{PT}$ te breken.

Het werk valideert het gebruik van de Hamiltonian-benadering gecombineerd met DMRG voor het bestuderen van niet-unitaire kritikaliteit, waarmee de beperkingen van Monte Carlo-methoden worden overwonnen. Bovendien biedt het een gedetailleerde numerieke karakterisering van de YL edge-lijnen in het Blume-Capel model en verheldert het de coëxistentie van massaloze YL en massieve sectoren in het kwantum-clock model. De resultaten dienen als een uitgebreide bevestiging dat het $M(2, 5)$ minimale model het kritische gedrag van deze gedeformeerde kwantumsystemen beschrijft, waarbij de numerieke data een overeenkomst vertonen met de exacte theoretische resultaten op het niveau van $10^{-3}$ tot $10^{-4}$.