Quantum models with the Yang-Lee phase transition

技术摘要：具有杨-李相变的量子模型

问题陈述
杨-李（Yang-Lee, YL）相变最初是通过经典伊辛铁磁体在复磁场平面上的配分函数零点分布确定的，它由一个非幺正共形场论（CFT）描述。在二维情况下，这对应于极小模型 $M(2, 5)$。虽然欧几里得 $i\phi^3$ 场论提供了该临界性的场论描述，但由于 YL 模型具有非幺正性，用于幺正模型（如伊辛模型）的标准蒙特卡洛方法并不适用。因此，数值研究主要局限于受虚纵向磁场扰动的正则铁磁量子伊辛模型。本研究旨在解决的核心问题是，通过证明其在更广泛的、保持 $\mathcal{PT}$ 对称性但具有不同底层晶格结构和对称性的 1+1D 量子微观模型中的实现，来研究 YL CFT 的普适性。

方法论
作者结合了解析推导和数值模拟，在四种不同的量子模型中建立了 YL 临界性的存在：

1. 解析框架：

   • Polyakov-Hubbard (PH) 变换： 用于将经典晶格模型（伊辛、Blume-Capel、时钟模型）映射到有效的欧几里得 Landau-Ginzburg-Wilson (LGW) 作用量。这使得作者能够推导出连续场论，并确定（特别是通过虚磁场形变）使作用量还原为无质量 $i\phi^3$ 理论的条件。
   • 玻色化（Bosonization）： 应用于有质量 Schwinger 模型，将费米子理论映射到玻色子场论，从而便于识别在保持 $\mathcal{PT}$ 对称性的同时打破 $Z_2$ 对称性的相关形变项。
   • 平均场分析： 用于估计虚磁场的临界值并确定模型的相图。

2. 数值方法：

   • 哈密顿量表述： 作者构建了受特定虚场（纵向、交错或伪标量）形变的反对称伊辛模型、Schwinger 模型、Blume-Capel 模型以及三态量子时钟模型的晶格哈密顿量。
   • 密度矩阵重整化群 (DMRG)： 使用 DMRG 方法（通过 iTensor 库）计算非厄米但具有 $\mathcal{PT}$ 对称性的哈密顿量的数值谱，系统尺寸为 $N$。
   • 有限尺寸缩放 (FSS) 与态-算符对应关系： 利用能量间隙与算符标度维度的关系 $E_n - E_0 \propto \frac{2\pi v}{N} \Delta_n$ 从哈密顿量谱中提取算符的标度维数。利用临界性判据（如公式 6.5）识别伪临界点，并使用 Bulirsch-Stoer (BST) 算法将其外推至热力学极限 ($N \to \infty$)。
   • 相关函数： 计算初级算符 $\phi$ 的二点函数，以验证其随距离的增长，这是 YL CFT 中负标度维数的特征。

主要贡献与结果
论文提出了四种在 $\mathcal{PT}$ 对称形变下实现杨-李临界点的不同量子模型：

1. 反铁磁量子伊辛模型：

   • 作者表明，在虚纵向磁场下的铁磁伊辛模型会产生 YL 临界性，而均匀虚磁场下的反铁磁版本则不会（它仍属于伊辛普适类）。
   • 然而，通过引入虚交错纵向磁场，作者证明了反铁磁模型拥有杨-李临界面。
   • 数值结果显示的标度维数 ($\Delta_\phi \approx -0.4003$) 和有效中心电荷 ($c_{\text{eff}} \approx 0.3996$) 与精确的 $M(2, 5)$ 值 ($\Delta_\phi = -2/5, c_{\text{eff}} = 2/5$) 在 $10^{-4}$ 精度内一致。

2. 有质量 Schwinger 模型：

   • 在 $\theta = \pi$（伊辛临界点）处的 Schwinger 模型受到虚伪标量质量项的形变。
   • 玻色化揭示了这种形变打破了电荷共轭 ($Z_2$) 对称性，但保持了 $\mathcal{PT}$ 对称性，从而导致 $i\phi^3$ 理论。
   • 数值提取的临界质量 $m_{5,c}$ 和标度维数证实了 YL 普适类，结果与理论预测在 $10^{-3}$ 范围内吻合。

3. Spin-1 Blume-Capel 模型：

   • 该模型受到虚纵向磁场的形变。
   • 研究证实了在 $(\alpha, h_x)$ 平面上，连接伊辛临界线的 YL 临界“翼面”的存在。
   • 作者验证了从三临界伊辛点发出的 YL 边缘线的存在，此前据推测这些线由 $M(2, 7)$ 极小模型描述。

4. 三态量子时钟 (Potts) 模型：

   • 该模型受到打破 $Z_3$ 对称性但保持特定 $\mathcal{PT}$ 组合的项的形变。
   • LGW 分析预测，对于某些形变参数，无质量 YL 场会与有质量场解耦。
   • 数值谱确认了无质量 YL 态和有质量态的存在。无质量扇区的标度维数与 YL CFT 一致，而有质量态的能量间隙随系统尺寸线性增长。
   • 此外，论文探讨了保持 $Z_2$ 对称性的时钟模型形变，成功识别出一个与 YL 转变截然不同的伊辛临界点，该点与有质量态共存。

CFT 预测的验证
以铁磁量子伊辛模型为基准，作者数值计算了结构常数 $C_{\phi\phi\phi}$ 和二点相关函数 $\langle I | \phi_0 \phi_x | I \rangle$。

• 结构常数计算结果为 $C_{\phi\phi\phi} \approx 1.91i$，与从极小模型中推导出的精确值相匹配。
• 二点函数被证明随距离 $x$ 增长，这与负标度维数 $\Delta_\phi = -2/5$ 相一致，是非幺正 CFT 的独特特征。

意义与主张
本文声称证明了杨-李临界点在多种 1+1D 量子系统中的普适性。通过使用 PH 变换或玻色化推导出每个模型的有效 $i\phi^3$ 场论，作者确立了杨-李相变是在满足 $\mathcal{PT}$ 对称性的系统中发生的稳健现象，前提是形变在不破坏 $\mathcal{PT}$ 的情况下打破了相关的离散对称性（如 $Z_2$ 或 $Z_3$）。

这项工作验证了结合 DMRG 研究非幺正临界性的哈密顿量方法的有效性，克服了蒙特卡洛方法的局限性。此外，它还对 Blume-Capel 模型中 YL 边缘线的细节进行了数值刻画，并阐明了量子时钟模型中无质量 YL 扇区与有质量扇区的共存情况。研究结果有力地证实了 $M(2, 5)$ 极小模型描述了这些形变量子系统的临界行为，其数值数据与精确理论结果的吻合程度达到了 $10^{-3}$ 至 $10^{-4}$ 量级。