Technische Samenvatting: Intrinsieke Redundantie en Lokale Robuustheid in Eindige $\beta$-Expansie Systemen

1. Probleemstelling

Moderne digitale computatie steunt bijna uitsluitend op binaire representatie, maar niet-gehele basissystemen ($\beta$-expansies) bieden een breder ontwerpplek waar de basis, het cijferalfabet en de toegestane taal onafhankelijk van elkaar kunnen worden gekozen. Hoewel de literatuur over analoge $\beta$-encoders en symbolische dynamica heeft vastgesteld dat niet-gehele bases (specifiek $1 < \beta < 2$) semantische niet-uniciteit vertonen (meerdere verschillende cijferreeksen die dezelfde waarde vertegenwoordigen), blijft de operationele waarde van deze redundantie in eindige digitale rekenkunde onduidelijk.

Het artikel adresseert een specifieke, nauwe vraag: Welke operationele robuustheid wordt geboden door intrinsieke $\beta$-redundie wanneer getallen worden opgeslagen als eindige canonieke codewoorden? De auteurs maken onderscheid tussen:

1. Ambiente semantische niet-uniciteit: Het bestaan van meerdere reeksen voor een enkele waarde in de volledige ruimte van cijferreeksen.
2. Canoniek codeboek-toelaatbaarheid: De strikte deelverzameling van reeksen die voor opslag zijn geselecteerd (bijv. de "geen opeenvolgende enen"-regel in de gouden ratio-basis).

De kernuitdaging is bepalen of de intrinsieke structuur van deze toegestane talen fouten kan detecteren, gecorrumpeerde toestanden kan herstellen, of originele waarden kan terugwinnen zonder externe foutcontrolemechanismen (zoals parity bits of Hamming-codes).

2. Methodologie

De studie maakt gebruik van een bounded-window computationeel model om hardware met eindige precisie te simuleren. De methodologie scheidt twee afzonderlijke operationele pipelines:

A. Het Finite-Window Model

• Window: Een vaste integer breedte $W$ is gedefinieerd met indices $I_{L,R} = \{-R, \dots, L\}$.
• Codeboeken: Geldige opgeslagen woorden moeten voldoen aan lokale toelaatbaarheidsbeperkingen (bijv. geen "11" voor $\beta=\phi$, geen "111" voor Tribonacci).
• Randeffecten: Het model houdt expliciet rekening met overflow (schrijven voorbij $L$) en truncatie (schrijven onder $-R$), waarbij erkend wordt dat exacte waardebehoud bij de grenzen kan falen.

B. Operationele Pipelines

1. Arithmetische Canonicalisering: Geldige operanden worden cijfergewijs opgeteld, wat niet-canonieke intermediaire toestanden produceert (bijv. cijfers $\ge 2$ of verboden patronen). Een deterministische MSB-first scheduler past lokale herschrijfregels toe (bijv. $011 \to 100$ voor $\phi$) om toelaatbaarheid te herstellen.
2. Corruptieherstel: Een reeds opgeslagen toegestane codewoord wordt verstoord door een single-digit flip of een lokale burst-corruptie. Het systeem probeert de geobserveerde toestand te herstellen via bounded-window normalisatie.

C. Evaluatiemetrieken

Het artikel definieert een hiërarchie van correctheidscriteria:

• Structurele Detecteerbaarheid: Schendt de corruptie de toelaatbaarheidsbeperkingen (maakt het het woord syntactisch ongeldig)?
• Structurele Exactheid (Waardebehoud): Keert het herstelproces terug naar een toegestane reeks met dezelfde waarde als de gecorrumpeerde reeks?
• Semantisch Overleven: Kan het herstelproces de originele pre-fout waarde terugwinnen?
• Kosten: Gemeten aan de hand van het aantal herschrijfoperaties ($\kappa$) en de propagatiediepte ($\pi$).

D. Vergelijkbare Systemen

De studie vergelijkt:

• Binair (B): Standaard basis 2, alfabet $\{0,1\}$. Niet-redundante baseline.
• Signed NAF (S): Basis 2, alfabet $\{-1, 0, 1\}$ met Non-Adjacent Form beperkingen. Vertegenwoordigt alfabet-gedreven redundantie.
• Gouden Ratio ($\Phi$): Basis $\phi$, alfabet $\{0,1\}$, verbiedt "11".
• Tribonacci ($T_3$) & Tetranacci ($T_4$): Hogere orde multinacci bases met langere verboden patronen ("111", "1111").

3. Belangrijkste Bijdragen

A. Theoretische Resultaten

1. Onmogelijkheid van Single-Digit Herstel: De auteurs formaliseren dat in elk canoniek injectief eindig codeboek, echte single-digit corrupties niet semantisch kunnen worden hersteld zonder externe informatie. Omdat een wijziging van één enkel cijfer de numerieke waarde verandert, en het canonieke codeboek injectief is (één-op-één mapping van waarde naar reeks), levert een waarde-behoudend herstel van de gecorrumpeerde toestand een andere waarde op dan de originele toestand.
2. Algebraïsche Kern-conditie voor Semantisch Overleven: Semantisch overleven voor multi-digit (burst) corrupties is mogelijk indien en slechts indien de foutvector in de algebraïsche kern van de evaluatiefunctie ligt. Dit gebeurt alleen wanneer de corruptie overeenkomt met een waarde-behoudende lokale identiteit (bijv. $100 \leftrightarrow 011$ in $\phi$).
3. Onderscheid tussen Redundantie types: Het artikel scheidt rigoureus ambiente semantische multipliciteit (een eigenschap van de oneindige ruimte) van canonieke toelaatbaarheid (de opgeslagen taal). Het stelt dat intrinsieke redundantie een constrained-language resource is voor structurele integriteit, verschillend van klassieke foutcontrole-redundantie.

B. Experimentele Bevindingen

1. Structurele Detecteerbaarheid:
   • Binair heeft nul structurele detecteerbaarheid (alle bit flips zijn geldig).
   • Redundante systemen (NAF, $\Phi$, $T_3$, $T_4$) detecteren een positief deel van de fouten.
   • Trade-off: Strengere talen (zoals $\Phi$) hebben een hogere detecteerbaarheid voor single-digit fouten dan dichtere talen (zo zoals $T_4$), maar tegen de kosten van een lagere opslagcapaciteit (ijlheid).
2. Herstelkosten vs. Exactheid:
   • Signed NAF bereikt de hoogste arithmetische exactheid maar vereist hoge computationele kosten (globale recodering).
   • Lokale herschrijfsystemen ($\Phi, T_3, T_4$) hebben zeer lage herstelkosten (vaak $< 1$ operatie gemiddeld voor single-digit fouten) maar lagere arithmetische exactheid door boundary truncatie.
3. Semantisch Overleven:
   • Single-digit: Nul overlevingskans voor alle systemen (bevestiging van de onmogelijkheidsresultaat).
   • Burst corruptie: Kleine, niet-nul overlevingskansen voor redundante systemen, strikt uitgelijnd met algebraïsche identiteiten. Bijvoorbeeld, in $\Phi$ overleeft een burst die overeenkomt met $100 \to 011$; willekeurige bursts doen dat niet.
4. Randeffecten: Truncatie aan de ondergrens is een belangrijke bron van fouten in niet-gehele bases. Het toevoegen van guard digits onderdrukt truncatie effectief, maar lost upper-boundary overflow niet op.

4. Samenvatting van Resultaten

De experimenten kwantificeren de trade-offs tussen systemen (bij een window breedte $W=24$):

• Detecteerbaarheid: Signed NAF (0.489) > $\Phi$ (0.431) > $T_3$ (0.223) > $T_4$ (0.119).
• Herstelkosten: Signed NAF (23.03 ops) >> $\Phi$ (0.66 ops) > $T_3$ (0.26 ops) > $T_4$ (0.13 ops).
• Semantisch Overleven (Burst): Signed NAF (2.3%) > $\Phi$ (1.8%) > $T_3$ (0.3%) > $T_4$ (0.1%).
• Arithmetische Exactheid: Signed NAF (75.3%) > Binary (49.2%) > $\Phi$ (32.3%) > $T_3$ (7.4%) > $T_4$ (1.7%).

De data wijzen erop dat $\Phi$ (Gouden Ratio) een gunstige balans biedt: het biedt aanzienlijke structurele foutzichtbaarheid en extreem lage lokale herstelkosten, hoewel het lijdt onder lagere arithmetische exactheid door boundary truncatie vergeleken met Signed NAF.

5. Betekenis en Claims

Het artikel sluit af met een bescheiden maar precieze claim over de rol van intrinsieke $\beta$-redundie:

• Geen Algemene Foutcorrigerende Code: Intrinsieke $\beta$-redundie fungeert niet als een klassieke foutcorrigerende code die in staat is tot het herstellen van willekeurige single-digit corrupties. Het "onmogelijkheidsresultaat" stelt een harde theoretische limiet vast: zonder externe informatie kan de originele waarde niet worden gereconstrueerd vanuit een single-digit fout.
• Een Constrained-Language Resource: In plaats daarvan dient intrinsieke redundantie als een mechanisme voor structurele foutzichtbaarheid en waarde-behoudende re-admissibilisering. Het stelt een systeem in staat te detecteren wanneer een opgeslagen woord de geldige taal heeft verlaten en het te herstellen naar een toestand die de geobserveerde (gecorrumpeerde) waarde behoudt.
• Selectief Semantisch Overleven: Ware reconstructie van de originele waarde (semantisch overleven) is alleen mogelijk voor specifieke, algebraïsch uitgelijnde multi-digit perturbaties (bursts) die overeenkomen met de lokale herschrijfidentiteiten van het systeem.
• Architecturale Implicaties: De studie suggereert dat $\beta$-expansies een "natuurlijk" mechanisme kunnen bieden voor het detecteren van structurele schendingen en het normaliseren van arithmetische intermediairen met lage lokale overhead, maar ze moeten worden gecombineerd met andere mechanismen (zoals guard digits of externe controles) om boundary losses en generieke foutcorrectie aan te pakken.

De auteurs benadrukken dat dit werk de eigenschappen van de opgeslagen toegestane taal zelf isoleert, los van de bredere context van analoge codering of externe foutcontrole-codes, wat een rigoureuze baseline biedt voor het begrijpen van de limieten van intrinsieke redundantie in eindige digitale systemen.