Characteristic cycles of constructible sheaves and microlocalization

Technische Samenvatting: Karakteristieke Cycli van Constructibele Sheaves en Microlokalisatie

Probleemstelling
Voor een constructibele sheaf $F$ op een glad schema $X$ over een lichaam $k$ met karakteristiek $p > 0$, zijn de singuliere ondersteuning $SSF$ en de karakteristieke cyclus $CCF$ wel gedefinieerd op de cotangente bundel $T^*X$ (gebaseerd op [2], [16]). Echter, in tegen tegenstelling tot de theorie van $D$-modules, waarbij singuliere ondersteuningen en karakteristieke cycli voortkomen uit modules over de ring van microdifferentiaal operatoren, is er in de algebraïsche setting geen directe constructie van een object op $T^*X$ dat deze invarianten genereert.

In de transcendentale setting hebben Kashiwara en Schapira [11] de singuliere ondersteuning en de karakteristieke cyclus geconstrueerd met behulp van de microlokalisatie $\mu\text{Hom}(F, F)$, gedefinieerd op de cotangente bundel. Dit artikel onderzoekt of een vergelijkbare constructie met behulp van microlokalisatie werkt in de algebraïsche setting van constructibele sheaves over lichamen van positieve karakteristiek. Specifiek vraagt de auteur zich af of de ondersteuning van de microlokalisatie, aangeduid als $SS^\mu F$, samenvalt met de singuliere ondersteuning $SSF$, en of de cohomologieklasse $CC^\mu F$, afgeleid van deze microlokalisatie, gelijk is aan de cyclusklasse van de karakteristieke cyclus $CCF$.

Methodologie
Het artikel maakt gebruik van een constructie gebaseerd op de Fourier-transformatie van de specialisatie-functor, volgens het kader van Verdier [19].

1. Definitie van Microlokalisatie: Voor een object $F \in D^b_{ctf}(X, \Lambda)$ wordt de microlokalisatie $\mu\text{Hom}(F, F)$ gedefinieerd op $T^*X$ als de Fourier-transformatie van de specialisatie $\nu\text{Hom}(F, F)$ op de tangentiële bundel $TX$. De specialisatie wordt verkregen door de nabijgelegen cycli-functor (nearby cycles) toe te passen op de deformatie naar de normaalbundel van de diagonaal-immersie $\delta: X \to X \times X$.
2. Definities van Invarianten:
   • $SS^\mu F$ wordt gedefinieerd als de ondersteuning van $\mu\text{Hom}(F, F)$ in $T^*X$ (Definitie 2.1.1).
   • $CC^\mu F$ wordt gedefinieerd als een cohomologieklasse in $H^0_{SS^\mu F}(T^*X, e^\vee_* K_X)$, geconstrueerd via de adjunct van de evaluatie-morfisme en de microlokalisatie-functor (Definitie 2.1.4).
3. Technische Instrumenten: De analyse steunt zwaar op de eigenschappen van Fourier-transformaties (Katz–Laumon [12]), het gedrag van specialisatie en nabije cycli onder propere push-forward en gladde pull-back, en de compatibiliteit van deze functoren met de diagonaal-immersie. De auteur maakt gebruik van de Grothendieck–Ogg–Shafarevich-formule en de Milnor-formule om de nieuw gedefinieerde invarianten te vergelijken met de gevestigde karakteristieke cyclus.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten
Het artikel levert gedeeltelijke positieve antwoorden op de vraag of de microlokalisatie-constructie de standaard singuliere ondersteuning en karakteristieke cyclus herstelt.

• Dimensie 1 (Curven): In Propositie 2.5.1 bewijst de auteur dat als $\dim X = 1$, dan $CC^\mu F$ gelijk is aan de cyclusklasse van $CCF$. Het bewijs omvat expliciete berekeningen voor tamelijk ramifieerde sheaves op curven (Corollary 2.2.5) en maakt gebruik van een globaal argument gebaseerd op de Katz–Gabber-stelling [13] om het algemene geval te reduceren tot het tamelijk ramifieerde geval. De gelijkheid wordt geverifieerd door de indexformule voor $CC^\mu$ te vergelijken met de Grothendieck–Ogg–Shafarevich-formule.
• Algemene Dimensie (Conditioneel): Voor een algemene $X$ stelt Propositie 2.5.2 een conditioneel resultaat vast: indien de inclusie $SS^\mu F \subset SSF$ geldt, dan is $CC^\mu F$ gelijk aan de cyclusklasse van $CCF$. Het bewijs reduceert het probleem tot het geval van een projectief schema met behulp van een Lefschetz-pen en de compatibiliteit van $CC^\mu$ met propere push-forward. Vervolgens worden de coëfficiënten van de irreducibele componenten van dimensie $\dim X$ vergeleken met behulp van de Milnor-formule.
• Wild Ramificatie Voorbeeld: Sectie 2.6 biedt een expliciete, onafhankelijke berekening van $CC^\mu F$ voor een wild ramifieerde Artin–Schreier sheaf op een curve. Het resultaat, $CC^\mu F = -\text{cl}([T^*_X X] + 2 \cdot [T^*_0 X])$, laat zien dat de constructie werkt, zelfs in aanwezigheid van wilde ramificatie, wat de eerdere aanname van de auteur (gedaan met Ahmed Abbes in 2004) corrigeert dat een dergelijke constructie zou falen.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt een brug te slaan tussen de transcendente microlocale analyse van Kashiwara–Schapira en de algebraïsche theorie van constructibele sheaves in positieve karakteristiek. Hoewel de volledige equivalentie $SS^\mu F = SSF$ een open vraag blijft (Vraag 2.1.9.1), demonstreert het artikel dat de microlokalisatie-constructie de correcte karakteristieke cyclus oplevert in dimensie 1 en onder de aanname dat de microlocale ondersteuning binnen de singuliere ondersteuning valt.

De auteur merkt op dat de constructie voorheen als niet-levensvatbaar werd beschouwd vanwege het succes van alternatieve benaderingen met behulp van blow-ups (zoals in [1]). Echter, de expliciete berekening in Sectie 2.6 onthult dat de microlokalisatie-benadering levensvatbaar is en niet-triviale resultaten oplevert, zelfs voor wild ramifieerde sheaves. Het werk suggereert dat de microlokalisatie-functor een robuust kader biedt voor het definiëren van karakteristieke cycli algebraïsch, wat potentieel een verenigd perspectief biedt met de transcendente theorie. Het artikel merkt ook op dat soortgelijke vragen onafhankelijk zijn overwogen door D. Cisinski, A. Khan, en E. Yang.