On a question of Gowers related to Littlewood's conjecture

Stel je een uitgestrekt, onzichtbaar raster voor dat in alle richtingen uitstrekt, als de vloer van een gigantisch, oneindig magazijn. In dit magazijn spelen we een spelletje "verstoppertje zoeken" met getallen. Het spel heet Diophantische benadering, en het gaat erom hoe goed we lastige, irrationele getallen (zoals de vierkantswortel van 2 of Pi) kunnen benaderen met eenvoudige breuken. Het doel is om breuken te vinden die ongelooflijk dicht bij deze lastige getallen komen zonder er ooit daadwerkelijk op te landen.

Decennialang waren wiskundigen geobsedeerd door een specifiek raadsel genaamd de Vermoeden van Littlewood. Denk aan dit als een regel over hoe dicht twee verschillende getallen tegelijkertijd bij een "geheel" kunnen komen wanneer je ze vermenigvuldigt met een telgetal. De regel suggereert dat, ongeacht welke twee getallen je ook kiest, als je ze blijft vermenigvuldigen met 1, 2, 3, enzovoort, er altijd een moment zal zijn waarop beide getallen tegelijkertijd extreem dicht bij een geheel getal liggen. Het is also kind als je probeert te vinden wanneer twee draaiende wielen, waarvan het ene een vreemd patroon heeft en het andere een ander vreemd patroon, beide tegelijkertijd op een "nul"-markering terechtkomen. De regel zegt dat dit zal gebeuren, maar niemand heeft tot nu toe kunnen bewijzen dat dit geldt voor elk paar getallen.

In 2009 had een beroemde wiskundige genaamd Timothy Gowers een slim idee. Hij dacht: "Wat als we dit vermoeden waar kunnen zijn door aan te tonen dat we niet te veel punten in een specifieke vorm kunnen proppen zonder dat ze te dicht bij elkaar komen?" Hij stelde zich een 3D-kubus voor en vroeg zich af of we een bepaald aantal punten in de kubus konden verspreiden zodat de "afstand" tussen elk twee punten altijd groot bleef. Maar hier komt de twist: de "afstand" in dit spel wordt niet gemeten met een liniaal. In plaats daarvan wordt deze gemeten door de verschillen in de posities van de punten over alle drie de dimensies te vermenigvuldigen. Als je twee punten hebt, en hun verschillen zijn klein in één richting maar groot in een andere, kan het product nog steeds groot zijn. Gowers vroeg zich af of er een limiet zou zijn aan hoeveel punten je erin kunt passen voordat ze volgens deze speciale "hyperbolische" manier te dicht bij elkaar worden gedreven.

Dit brengt ons bij het nieuwe artikel van Frederik Broucke, Máté Matolcsi en Szilárd Gy. Révész. Zij besloten Gowers' vraag te nemen en een oplossing te bouwen, maar niet het soort oplossing waar Gowers op hoopte. In plaats van een manier te vinden om het Vermoeden van Littlewood met deze methode te bewijzen, bouwden zij een wiskundige "val" die aantoont dat de methode daadwerkelijk faalt.

Dit is hoe ze het deden: Ze gebruikten een concept uit de algebraïsche getheorie, wat een soort geheime code is die verborgen zit in getallen. Ze construeerden een zeer specifieke, perfect georganiseerde raster van punten (een rooster of "lattice") met behulp van een bijzonder type getalveld. Stel je dit rooster voor als een set onzichtbare, perfect uitgelijnde pinnen die uit de vloer steken. De auteurs bewezen dat als je naar de "hyperbolische afstand" tussen elk twee van deze pinnen kijkt, deze nooit nul is, tenzij de pinnen precies op dezelfde plek zijn. Sterker nog, ze toonden aan dat je deze punten zo kunt ordenen dat ze allemaal ver van elkaar verwijderd zijn volgens Gowers' speciale afstandregel.

Wat betekent dit voor het grotere plaatje? Het betekent dat Gowers' voorgestelde aanpak om het Vermoeden van Littlewood te bewijzen een doodlopende weg is. De auteurs toonden aan dat je een enorm aantal punten in de kubus kunt vinden die aan de voorwaarde van de "grote afstand" voldoen. Dit is het tegenovergestelde van wat je nodig zou hebben als je deze methode zou willen gebruiken om te bewijzen dat er een tegenvoorbeeld voor het Vermoeden van Littlewood bestaat. In eenvoudige bewoordingen bouwden zij een structuur die bewijst dat de "val" die Gowers zette, eigenlijk vol gaten zit.

Het artikel zegt niet alleen "het werkt niet"; het geeft een expliciet recept voor het bouwen van deze punten. Ze gebruikten een wiskundig instrument genaamd de Minkowski-inbedding, die getallen uit een complexe algebraïsche wereld neemt en deze naar onze reguliere 3D (of hoger-dimensionale) ruimte mapt. Ze toonden aan dat je voor elke dimensie een rooster kunt creëren waarbij de "product van verschillen" tussen elk twee punten altijd groter is dan een specifiek, minuscuul getal. Dit bewijst dat het antwoord op Gowers' vraag een "Ja, je kunt dergelijke punten vinden is", wat helaas betekent dat dit specifieke pad niet gebruikt kan worden om het oorspronkelijke Littlewood-mysterie op te lossen.

De auteurs verbonden hun bevindingen ook aan een klassiek probleem uit de Fourier-analyse genaamd het Delsarte-probleem, wat lijkt op het proberen te verpakken van het maximale aantal niet-overlappende vormen in een doos. Ze toonden aan dat hun roosterconstructie gerelateerd is aan de best mogelijke manier om deze vormen te verpakken, wat ons een precies aantal geeft voor hoeveel punten we kunnen passen. Hoewel dit het Vermoeden van Littlewood niet oplost, lost het Gowers' specifieke vraag op met een definitief "ja" en een heldere, wiskundige constructie. Het is een beetje als het vinden van een sleutel die perfect in een slot past, om er vervolgens achter te komen dat de sleutel een deur opent naar een kamer die we al wisten dat leeg was. De wiskunde is solide, de constructie is expliciet en de conclusie is duidelijk: deze specifieke strategie heeft een flinke heroverweging nodig voordat het kan helpen om de Littlewood-code te kraken.