Duru-Kleinert Path Integral in Unimodular Quantum Cosmology

Om de vroegste momenten van ons universum te begrijpen, wenden natuurkundigen zich vaak tot een reeks regels die proberen de vloeiende, gekromde geometrie van ruimte en tijd te versmelten met de schokkerige, onzekere aard van kwantumdeeltjes. In het allereerste begin, voordat sterren of sterrenstelsels bestonden, was het universum waarschijnlijk een minuscuul, dicht punt waar de vertrouwde wetten van de zwaartekracht niet meer gelden. Om dit tijdperk te beschrijven, gebruiken wetenschappers een raamwerk genaamd kwantumkosmologie, dat het hele universum behandelt als één enkel kwantumobject met een golffunctie. Een centrale vergelijking in dit veld, bekend als de Wheeler-DeWitt-vergelijking, beschrijft hoe deze universele golffunctie zich gedraagt. Het oplossen van deze vergelijking is echter berucht moeilijk omdat het complexe wiskunde en het vreemde concept van tijd zelf inhoudt, die mogelijk niet bestaat op de manier zoals wij die op kwantumniveau ervaren. Een specifieke benadering, genaamd unimodulaire zwaartekracht, biedt een manier om de schaal van ruimte en tijd vast te leggen, waardoor de vergelijkingen hanteerbaarder worden. Binnen dit raamwerk hebben onderzoekers onlangs een verrassende link ontdekt tussen de geboorte van het universum en het gedrag van een eenvoudig atoom, specifiek het waterstofatoom. Deze verbinding suggereert dat de chaotische, hoogenergetische fysica van het vroege kosmos wiskundig identiek kan zijn aan de goed begrepen fysica van een elektron dat rond een proton draait.

Voortbouwend op deze intrigerende connectie, herbekijkt een nieuwe studie door Xiao-Kan Guo aan het Yancheng Institute of Technology de relatie tussen het universum en het waterstofatoom met behulp van een krachtig wiskundig instrument genaamd de Duru-Kleinert-padintegraal. Deze techniek stelt natuurkundigen in staat om de waarschijnlijkheid te berekenen dat een systeem van de ene naar de andere toestand beweegt door alle mogelijke paden die het zou kunnen afleggen bij elkaar op te tellen. In dit geval paste de onderzoeker deze methode toe op het universum zelf, waarbij het universum werd behandeld als een deeltje dat zich door een landschap van mogelijkheden beweegt. Door de wiskundige beschrijving van tijd en ruimte zorgvuldig te hervormen, transformeerde de studie het complexe probleem van de kwantumgeboorte van het universum in het eenvoudigere probleem van een deeltje dat beweegt onder invloed van een enkele kracht, net zoals een elektron die de aantrekkingskracht van een kern voelt. Deze transformatie onthulde dat het universum, wanneer het gevuld is met een specifiek type onzichtbaar stof, zich exact gedraagt als een eendimensionale versie van een waterstofatoom.

De studie bevestigt dat deze wiskundige mapping leidt tot een specifieke, gekwantiseerde reeks mogelijkheden voor de kosmologische constante van het universum, een waarde die de expansie van de ruimte aandrijft. Net zoals een elektron in een waterstofatoom alleen op specifieke energieniveaus kan bestaan, kan het universum in dit model alleen bestaan met specifieke waarden voor zijn kosmologische constante. Deze toegestane waarden zijn negatief en volgen een precies patroon, vergelijkbaar met de beroemde Rydberg-formule die in de atoomfysica wordt gebruikt. Het onderzoek toont aan dat het universum alleen deze discrete waarden kan aannemen, wat betekent dat de kosmologische constante geen willekeurig getal is, maar een gekwantiseerde eigenschap die wordt bepaald door de hoeveelheid stof-achtige materie in het vroege universum. Deze bevinding biedt een rigoureuze afleiding van een resultaat dat voorheen alleen bekend was via directe golffunctie-oplossingen, wat een dieper begrip biedt van hoe de fundamentele parameters van het universum worden ingesteld.

Buiten de statische eigenschappen van het universum, verkent het artikel ook het dynamische proces van het ontstaan van het universum uit "niets". In de kwantumkosmologie wordt dit beschreven als een tunnelingsgebeurtenis, waarbij het universum spontaan verschijnt door een barrière van waarschijnlijkheid te passeren. Met behulp van het vereenvoudigde model afgeleid van de Duru-Kleinert-techniek, berekende de onderzoeker de waarschijnlijkheid van deze gebeurtenis voor verschillende kwantumtoestanden. De berekening onthulde dat de waarschijnlijkheid van het verschijnen van het universum het grootst is voor de laagste energietoestand, of de grondtoestand, en snel afneemt voor hogere, meer geëxciteerde toestanden. De studie vond een nauwkeurige wiskundige relatie voor deze waarschijnlijkheid, waarbij werd aangetoond dat de kans dat het universum in een specifieke toestand verschijnt, exponentieel afneemt naarmate de toestand complexer wordt. Dit suggereert dat de eenvoudigste, meest stabiele versie van het universum de meest waarschijnlijke is om uit het kwantümvacuüm te ontstaan.

Ten slotte keek de studie naar wat er gebeurt wanneer de kosmologische constante positief is, een scenario dat overeenkomt met een expanderend universum zoals het onze. In dit geval komt het universum niet tot rust in een vaste toestand, maar breidt het zich onbeperkt uit. De onderzoeker berekende de dichtheid van mogelijke toestanden voor dit expanderende universum en gebruikte deze om een grootheid genaamd Krylov-complexiteit te meten, die bijhoudt hoeveel informatie nodig is om het systeem te beschrijven terwijl het evolueert. De resultaten toonden aan dat de aanwezigheid van de stof-achtige materie essentieel is om de wiskunde correct te laten werken. Zonder deze materie wordt de beschrijving van de evolutie van het universum ongedefinieerd en stort deze in, wat de klassieke singulariteit aan het begin van de tijd weerspiegelt. Echter, met de inclusie van het stof groeit de complexiteit op een vloeiende, voorspelbare manier, wat suggereert dat de kwantumnatuur van het stof de initiële singulariteit oplost en een volledige, eindige beschrijving van de geboorte en evolutie van het universum biedt. Dit werk demonstreert dat natuurkundigen door gebruik te maken van geavanceerde padintegraaltechnieken, exacte oplossingen kunnen ontsluiten voor enkele van de moeilijkste problemen in de kwantumzwaartekracht, wat een diepe en onverwachte harmonie onthult tussen de fysica van het zeer kleine en het zeer grote.