Irreducibility and singularities of some nested Quot schemes

1. Problema e Contexto

O artigo investiga as propriedades geométricas de esquemas Quot aninhados sobre curvas projetivas suaves.

• Objeto de Estudo: Seja $C$ uma curva projetiva suave sobre $\mathbb{C}$ de gênero $g \geq 1$ e $E$ um fibrado vetorial sobre $C$ de posto $r$ e grau $e$. O esquema Quot aninhado $Q^{k_1, k_2}_{d_1, d_2}(E)$ parametriza pares de quocientes $[E \twoheadrightarrow F_1 \twoheadrightarrow F_2]$, onde $F_i$ tem posto $k_i$ e grau $d_i$, com $r > k_1 > k_2 > 0$.
• Motivação: Esquemas Quot são fundamentais na geometria de espaços de módulos e geometria enumerativa. Enquanto a irredutibilidade e suavidade genérica de esquemas Quot simples ($Q^k_d(E)$) para graus grandes ($d \gg 0$) são bem estabelecidas (trabalhos de Stromme, Bertram-Daskalopoulos-Witten, Pandharipande-Rasul), o comportamento de esquemas aninhados (com múltiplos níveis de quocientes) sobre curvas de gênero $g \geq 1$ com postos positivos é menos compreendido.
• Questão Central: Sob quais condições de graus ($d_1, d_2$) e postos ($k_1, k_2$) o esquema Quot aninhado é irredutível, integral, localmente completo intersecção (LCI) e normal? O artigo foca em dois regimes assintóticos distintos:
  1. $d_1 \gg d_2 \gg 0$ (o grau do primeiro quociente é muito maior que o segundo).
  2. $0 \ll d_1 \ll d_2$ (o grau do segundo quociente é muito maior que o primeiro).

2. Metodologia

Os autores utilizam uma combinação de técnicas de geometria algébrica, teoria de deformações e análise de dimensão de estratos singulares.

A. Esquemas Quot Relativos

Um dos pilares do trabalho é a generalização de resultados conhecidos para o contexto de esquemas Quot relativos.

• Eles consideram uma família de fibrados vetoriais $A$ sobre $C \times T$ (onde $T$ é uma esquema irredutível).
• Teorema 3.16: Estabelecem que, para graus suficientemente grandes ($d \geq \alpha(A, k)$), o morfismo estrutural do esquema Quot relativo $\pi: Q^k_d(A) \to T$ tem fibras irredutíveis, o esquema total é irredutível, e o morfismo é LCI (local complete intersection) e plano. Além disso, provam que o lugar singular tem codimensão $\geq 2$ sob certas condições.

B. Estratificação e Limites de Dimensão

Para lidar com a não-localidade livre dos quocientes (quando os fibrados $F_i$ não são localmente livres), os autores empregam uma estratégia de estratificação:

1. Aberto de Quocientes Livres: Identificam um subesquema aberto $U$ onde os quocientes são fibrados vetoriais (localmente livres). Neste aberto, aplicam o Teorema 3.16 para provar irredutibilidade e propriedades de suavidade.
2. Lócus de Torsão: Analisam o complemento $Y$ (onde os quocientes possuem torsão). Eles definem estratos $Z_\delta$ baseados no comprimento da torsão.
3. Cálculo de Dimensão: O núcleo da prova de irredutibilidade consiste em demonstrar que a dimensão de qualquer componente contendo pontos com torsão é estritamente menor que a dimensão esperada do esquema. Isso é feito através de:
   • Limites superiores para a dimensão de esquemas Quot de feixes com torsão.
   • Uso de sequências exatas e diagramas de pushout para relacionar quocientes com torsão a quocientes localmente livres de graus menores.
   • Definição de constantes numéricas ($\alpha, \beta, \gamma, \xi$) que garantem que, para graus grandes o suficiente, a contribuição dos estratos singulares seja negligenciável em termos de dimensão.

C. Redução ao Caso de Postos Maiores

Para o caso $0 \ll d_1 \ll d_2$, onde a condição de normalidade é mais delicada, eles utilizam uma técnica de "estabilização":

• Adicionam um fibrado trivial $\mathcal{O}_C^{\oplus l}$ ao fibrado original $E$ para aumentar os postos ($k'_1 = k_1 + l$, etc.) de modo que a soma dos postos dos quocientes exceda o posto total do fibrado ($k'_1 + k'_2 > r'$).
• Isso permite aplicar resultados de irredutibilidade e normalidade já conhecidos para o caso modificado e, subsequentemente, projetar de volta para o caso original, provando a irredutibilidade.

3. Principais Resultados

O artigo estabelece dois teoremas principais cobrindo os dois regimes de graus:

Teorema 1: Regime $d_1 \gg d_2 \gg 0$ (Teorema 4.1)

Existe um limite $d(E, k_2)$ tal que, para todo $d_2 \geq d(E, k_2)$, existe um limite $\xi$ tal que se $d_1 - d_2 \geq \xi$:

• O esquema Quot aninhado $Q^{k_1, k_2}_{d_1, d_2}(E)$ é irredutível.
• Sua dimensão é exatamente a dimensão esperada:
  $$\text{expdim}(d_1, d_2) = [d_1r - k_1e + k_1(r-k_1)(1-g)] + [d_2k_1 - d_1k_2 + k_2(k_1-k_2)(1-g)]$$
• O esquema é localmente completo intersecção (LCI), integral e normal.

Teorema 2: Regime $0 \ll d_1 \ll d_2$ (Teoremas 5.26 e 5.27)

Existe um limite $\gamma(E, k_1, k_2)$ tal que, para todo $d_1 \geq \gamma$, existe um limite $\beta$ tal que se $d_2 \geq \beta$:

1. Irredutibilidade: O esquema é irredutível de dimensão esperada.
2. Estrutura LCI: O mapa natural $Q^{k_1, k_2}_{d_1, d_2}(E) \to Q^{k_1}_{d_1}(E)$ é um morfismo LCI, implicando que o esquema aninhado é LCI.
3. Integridade: O esquema é integral.
4. Normalidade: O esquema é normal se e somente se $k_1 + k_2 > r$ e $k_1 - k_2 \geq 2$. (Nota: A condição $k_1 + k_2 > r$ é crucial para garantir que o lugar singular tenha codimensão $\geq 2$).

4. Contribuições Chave

1. Generalização para Fibrados Vetoriais: Estendem resultados clássicos de irredutibilidade (que muitas vezes assumem fibrados triviais ou curvas racionais) para fibrados vetoriais arbitrários sobre curvas de gênero $g \geq 1$.
2. Tratamento de Casos Aninhados: Fornecem uma análise completa da irredutibilidade e singularidades para esquemas Quot com dois níveis de aninhamento, preenchendo uma lacuna na literatura sobre geometria de módulos em curvas.
3. Análise de Singularidades: Determinam condições precisas (relacionadas aos postos $k_i$ e ao posto total $r$) para a normalidade do esquema, mostrando que a geometria do esquema depende criticamente da relação entre os postos dos quocientes e do fibrado base.
4. Ferramentas Técnicas: Desenvolvem e refinam lemas sobre a dimensão de lócus de torsão em esquemas Quot relativos, que são de interesse independente para o estudo de famílias de feixes.

5. Significado e Impacto

Este trabalho é significativo para a geometria algébrica e a teoria de módulos por várias razões:

• Fundamentos para Geometria Enumerativa: Esquemas Quot aninhados aparecem naturalmente em problemas de contagem de mapas e na construção de espaços de módulos de feixes estáveis. A garantia de irredutibilidade e normalidade é pré-requisito para definir classes fundamentais virtuais e calcular invariantes enumerativos (como polinômios de Gromov-Witten ou invariantes de Donaldson-Thomas).
• Conexão com Teoria de Representação e Álgebras de Lie: O artigo menciona conexões com esquemas de Hilbert aninhados em superfícies e suas ligações com álgebras de Lie e teoria de representações. A compreensão da estrutura singular dessas variedades em curvas é um passo essencial para generalizações em dimensões superiores.
• Robustez Assintótica: Os resultados confirmam que, para graus suficientemente grandes, a geometria desses espaços de módulos torna-se "bem comportada" (irredutível e com singularidades controladas), independentemente da complexidade do fibrado base $E$, desde que os graus dos quocientes satisfaçam as desigualdades assintóticas provadas.

Em resumo, o artigo fornece uma descrição geométrica completa e rigorosa dos esquemas Quot aninhados em curvas, estabelecendo as bases para futuros estudos sobre suas classes de cohomologia, grupos de Picard e aplicações em física matemática.