A proof of Vishik's nonuniqueness Theorem for the forced 2D Euler equation

Título: Uma Prova do Teorema de Não-Unicidade de Vishik para a Equação de Euler 2D Forçada

Autores: Ángel Castro, Daniel Faraco, Francisco Mengual e Marcos Solera.

1. O Problema

O artigo aborda a questão fundamental da unicidade de soluções para a equação de Euler bidimensional (2D) na presença de uma força externa ($f$).

• Contexto: A teoria clássica de Yudovich garante a existência e unicidade global de soluções para a vorticidade $\omega \in L^1 \cap L^\infty$. No entanto, para classes de vorticidade com menor regularidade, especificamente $\omega \in L^1 \cap L^p$ com $2 < p < \infty$, a unicidade permanece um problema em aberto na ausência de força.
• Objetivo: Demonstrar que, ao introduzir uma força externa adequada, a unicidade falha mesmo para vorticidades suaves e compactamente suportadas. O objetivo é provar que existem duas soluções distintas ($\omega_0, \omega_1$) partindo da mesma condição inicial nula ($\omega|_{t=0} = 0$) e da mesma força $f$.
• Referência: O trabalho simplifica e reestrutura a prova original de Vishik (2019), que estabeleceu esse resultado, mas com uma construção técnica complexa baseada em vórtices de lei de potência.

2. Metodologia

A prova é dividida em três etapas principais, seguindo a estratégia de Vishik, mas com uma simplificação crucial na primeira etapa:

Etapa 1: Construção de um Vórtice Instável (Euleriano)

Esta é a principal inovação do artigo. Em vez de modificar vórtices de lei de potência (como feito por Vishik), os autores constroem um vórtice instável em duas sub-etapas:

1. Vórtice Constante por Partes: Eles constroem um perfil de vorticidade $\bar{w}(r)$ que é constante por partes (tomando valores $c$ e $-1$ em anéis concêntricos). Para este perfil, a equação de estabilidade de Rayleigh (o problema de autovalores linearizado) reduz-se a um sistema linear algébrico simples de dimensão $2 \times 2$. Eles demonstram que, para certas escolhas de parâmetros e frequências angulares ($n \ge 2$), o sistema possui autovalores com parte imaginária positiva, indicando instabilidade linear.
2. Regularização via Argumento de Ponto Fixo: Como o vórtice constante por partes não é suave (sua derivada é uma medida), eles aplicam um argumento de ponto fixo em variáveis reescaladas para "suavizar" o vórtice nas regiões de descontinuidade. Eles mostram que, para um parâmetro de regularização $\epsilon$ suficientemente pequeno, o vórtice suavizado $\bar{\omega}_\epsilon$ mantém a propriedade de instabilidade (preservando o autovalor instável).

Etapa 2: Instabilidade Self-Similar

Os autores transformam as equações para coordenadas self-similares (escala de tempo e espaço logarítmica).

• Eles definem uma solução de fundo $\omega_0(t,x)$ baseada no vórtice instável suavizado.
• A linearização da equação de Euler em coordenadas self-similares resulta em um operador $L_b = L + bS$, onde $b$ é um parâmetro de escala.
• Utilizando teoria espectral de operadores (especificamente a estabilidade do índice de Fredholm sob perturbações compactas), eles provam que, para $b > 0$ pequeno, o espectro do operador linearizado ainda contém autovalores com parte real positiva. Isso garante a existência de soluções que crescem exponencialmente no tempo logarítmico $\tau$, correspondendo a um comportamento de "explosão" (blow-up) controlado no tempo físico $t \to 0$.

Etapa 3: Instabilidade Não-Linear

O último passo controla os termos não-lineares para garantir que a solução perturbada não colapse antes de divergir.

• Eles utilizam a fórmula de Duhamel para tratar o termo não-linear como uma força de correção.
• Através de estimativas de energia em espaços de Sobolev ponderados e explorando o suporte compacto do vórtice, eles provam que o termo de correção decai mais rápido que o termo linear instável.
• Isso permite construir uma família de soluções $\omega_\epsilon$ que partem de zero, divergem uma da outra à medida que $t \to 0$, mas permanecem dentro das classes de regularidade desejadas ($L^p$).

3. Principais Contribuições e Resultados

1. Simplificação da Construção do Vórtice: A maior contribuição é a substituição da construção complexa de Vishik por um vórtice constante por partes inicial. Isso transforma a análise espectral inicial em um cálculo matricial elementar, tornando a prova mais acessível e transparente.
2. Prova de Não-Unicidade para $L^p$ ($2 < p < \infty$): O teorema principal (Teorema 1.1) estabelece a existência de uma força $f \in L^1_t(L^1 \cap L^p)$ e duas soluções distintas $\omega_0, \omega_1 \in L^\infty_t(L^1 \cap L^p)$ partindo de $\omega_0 = 0$.
3. Regularidade das Soluções: As soluções construídas são suaves ($C^\infty_c$) para tempos positivos $t > 0$, embora a regularidade degrade à medida que $t \to 0$.
4. Aplicabilidade a Outros Modelos: Os autores observam que a estrutura do vórtice construído é robusta e pode ser adaptada para outras equações, como a equação de Navier-Stokes 3D forçada (já utilizada por Albritton, Brué e Colombo) e, potencialmente, para a equação SQG (Surface Quasi-Geostrophic) generalizada.

4. Significância

• Afiamento do Limite de Yudovich: O resultado demonstra que o limite de Yudovich para unicidade ($p = \infty$) é nítido (sharp). Se a vorticidade não for limitada em $L^\infty$, a unicidade pode falhar, mesmo com forças suaves.
• Mecanismo de Não-Unicidade: O trabalho reforça a ideia de que a não-unicidade em equações de fluidos pode surgir de instabilidades self-similares (bifurcações) em vez de apenas de métodos de integração convexa (que geralmente produzem soluções com baixa regularidade, como $C^{1/3-\epsilon}$).
• Ferramentas para Análise Futura: A técnica de construir vórtices instáveis via perfis constantes por partes e regularizá-los via ponto fixo oferece uma nova ferramenta poderosa para investigar problemas de não-unicidade em contextos mais gerais, incluindo equações não-locais como SQG.

Em resumo, o artigo fornece uma prova mais limpa e estruturalmente simples de um dos resultados mais importantes recentes na teoria de equações de fluidos, confirmando que a unicidade falha para a equação de Euler 2D forçada em espaços de vorticidade $L^p$ com $p < \infty$.