Height Pairing on Higher Cycles and Mixed Hodge Structures II

Resumo Técnico: Emparelhamento de Altura em Ciclos Superiores e Estruturas de Hodge Mistas II

Enunciado do Problema
O artigo aborda a generalização do componente arquimediano do emparelhamento de altura, originalmente definido por Beilinson para ciclos algébricos clássicos homólogos a zero, para o cenário dos ciclos de Chow superiores de Bloch. Especificamente, os autores consideram pares de ciclos superiores refinados $Z \in Z_p(X, n)_{00}$ e $W \in Z_q(X, n)_{00}$ em uma variedade projetiva suave $X$ de dimensão $d$, que intersectam adequadamente e satisfazem a condição de codimensão complementar $p + q = d + n + 1$ com $n \geq 1$.

Uma dificuldade primária na extensão da teoria clássica para ciclos superiores ($n \geq 1$) é que as classes de ciclos na cohomologia de de Rham desaparecem, o que significa que não se pode restringir a ciclos homólogos a zero. Além disso, ao contrário do caso clássico ($n=0$), ciclos superiores que intersectam adequadamente não necessariamente possuem interseções vazias; eles podem intersectar em um conjunto finito de pontos após o pullback para $X \times (\mathbb{P}^1)^{2n}$. Essa falta de uma "situação de produto local" impede a aplicação imediata de argumentos de dualidade padrão necessários para definir estruturas de Hodge mistas (MHS) e emparelhamentos de altura associados.

Metodologia
Os autores empregam uma construção de múltiplas etapas combinando geometria algébrica, teoria de Hodge e a análise de formas diferenciais:

1. Estruturas de Hodge Mistas Enquadradas: Os autores definem uma "estrutura de Hodge mista enquadrada" como uma MHS equipada com morfismos específicos de e para estruturas de Tate ($\mathbb{Q}(0)$ e $\mathbb{Q}(n+1)$). Eles introduzem duas noções distintas de altura, $ht_1$ e $ht_2$, para tais estruturas.

   • $ht_1$ é definida via a parte imaginária do emparelhamento entre geradores de Betti na bigraduação de Deligne.
   • $ht_2$ é definida via o mapa de divisão de Deligne $\delta_H$.
   • É demonstrado que estas definições recuperam polilogaritmos de valor único conhecidos (Bloch-Wigner, Brown) quando aplicadas a variações de polilogaritmos.

2. Resolução de Singularidades e Blow-ups: Para lidar com a interseção de ciclos superiores, os autores constroem uma resolução de singularidades específica. Eles realizam o blow-up do espaço $X \times (\mathbb{P}^1)^{2n}$ ao longo de centros contidos na união dos ciclos $Z$ e $W$. Este processo, utilizando a resolução de singularidades de Hironaka, produz um espaço $X_{Z,W}$ onde os transformados estritos dos ciclos e os divisores relevantes estão em uma "situação de produto local". Isso permite a definição de um par dual de grupos de cohomologia relativa.

3. Formas Diferenciais e Cohomologia: Uma inovação técnica crucial é o uso de um complexo de formas diferenciais que são "lentamente crescentes" ao longo de um divisor ($A$) e "rapidamente decrescentes" ao longo de outro ($B$), denotado $E^*_X(si A, rd B)$.

   • Ao contrário do complexo padrão de formas com singularidades logarítmicas que desaparecem ao longo de um divisor ($\Sigma_B E^*_X(\log A)$), este novo complexo permite a representação do produto de coproduto excepcional e das operações de conjugação complexa necessárias para a construção.
   • Os autores provam que este complexo computa a cohomologia relativa $H^*(X \setminus A, B)$ e é compatível com pullbacks, blow-ups e dualidade.

4. Construção do Emparelhamento de Altura:

   • As classes de ciclos $cl(Z)$e$cl(W)$ são elevadas para grupos de cohomologia específicos no espaço resolvido $X_{Z,W}$.
   • Estas classes definem os morfismos de enquadramento $\phi_Z$ e $\psi_W$ para a MHS $H_{Z,W}$.
   • O emparelhamento de altura $ht_i(Z, W)$ é então definido como a altura desta MHS enquadrada.

Principais Contribuições e Resultados

• Generalização para Ciclos Superiores: O artigo consegue anexar com sucesso uma estrutura de Hodge mista a qualquer par de ciclos superiores que intersectam adequadamente em codimensões complementares, removendo as suposições restritivas exigidas em seu trabalho anterior ($n=1$).
• Dois Emparelhamentos de Altura: Os autores definem e analisam dois emparelhamentos de altura, $ht_1$ e $ht_2$. Eles provam que estes são independentes da escolha da resolução de singularidades e satisfazem propriedades de simetria: $ht_i(W, Z) = (-1)^n ht_i(Z, W)$.
• Fórmulas Explícitas: Para $ht_1$, os autores derivam uma fórmula integral explícita envolvendo as formas diferenciais $\eta_Z, \eta_W$ e as formas de Wang $\alpha_1, \alpha_2$:
  $$ht_1(Z, W) = \text{Im} \left( \frac{(-1)^{p+n}}{(2\pi i)^{p+q+2n}} \int_{X \times (\mathbb{P}^1)^{2n}} p_2^*\eta_W \wedge \alpha_1 \wedge \overline{p_1^*\eta_Z} \wedge \overline{\alpha_2} \right)$$
• Resultados de Vanishing (Desaparecimento):
  • Se $X, Z, W$ são definidos sobre $\mathbb{R}$ e $n$ é ímpar, a altura desaparece.
  • Restrição Dimensional: O artigo prova que, se $p, q > \dim(X)$, então $ht_1(Z, W) = 0$. Isso implica que, para uma altura não nula, uma das codimensões deve ser menor ou igual à dimensão da variedade.
• Conexão com Polilogaritmos: A construção recupera os polilogaritmos de valor único de Bloch, Wigner e Brown como instâncias específicas destas alturas aplicadas à variação de MHS de polilogaritmos.

Significância e Alegações
Os autores afirmam que este trabalho generaliza o componente arquimediano do emparelhamento de altura para ciclos superiores, fornecendo um arcabouço de Hodge para estes objetos. Eles enfatizam que, embora a construção resulte em duas alturas diferentes ($ht_1$ e $ht_2$) que carregam informações distintas para MHS gerais, elas coincidem (até uma normalização) para as biextensões específicas que surgem nos casos clássicos e de $n=1$.

O artigo posiciona estas alturas como o componente arquimediano de um emparelhamento de altura global, análogo ao emparelhamento de altura clássico de Beilinson, embora a definição global permaneça um problema em aberto. O trabalho é modesto em seu escopo, focando na construção e propriedades destas alturas locais em vez de reivindicar uma solução completa para as conjecturas de Beilinson para ciclos superiores. A principal contribuição é o estabelecimento rigoroso da estrutura de Hodge mista e das emparelhamentos de altura associados na presença de interseções não triviais de ciclos superiores, facilitado pelo uso inovador de formas diferenciais lentamente crescentes/rapidamente decrescentes.