Parametric inference for the discretely observed multivariate Hawkes process using particle Markov Chain Monte Carlo

Resumo Técnico: Inferência Paramétrica para Processos de Hawkes Multivariados Observados Discretamente

Definição do Problema
O Processo de Hawkes Multivariado (MHP) é um modelo padrão para analisar sequências de eventos multidimensionais caracterizadas por autoexcitação e excitação cruzada. Embora a Estimativa de Máxima Verossimilhança (MLE) e os algoritmos de Expectativa-Maximização (EM) sejam bem estabelecidos para MHPs com tempos de eventos precisos, eles falham quando os dados são observados apenas em intervalos discretos (contagens agregadas). Em tais cenários, a função de verossimilhança torna-se analiticamente intratável porque os tempos exatos dos eventos e seus tipos dentro dos intervalos são variáveis latentes não observadas. Abordagens existentes para este problema, como aproximações de Autorregressão de Valor Inteiro (INAR), Monte Carlo EM modificado (MCEM), processos de Hawkes de granularidade grossa (coarse-grained) e MCMC Bayesiano, frequentemente sofrem de viés, ineficiência computacional ou incapacidade de lidar com taxas de fundo não estacionárias e intervalos de censura desiguais.

Metodologia
Os autores propõem uma estrutura para inferência paramétrica usando Pseudo-Marginal Metropolis-Hastings (PMMH) combinada com Sequential Monte Carlo (SMC).

1. Representação de Espaço de Estados: Os tempos de eventos e tipos não observados dentro de cada intervalo de observação são tratados como variáveis latentes em um modelo de espaço de estados. A verossimilhança dos dados agregados é fatorizada em um produto de probabilidades condicionais sobre os intervalos de tempo.
2. Estimativa de Verossimilhança Não Viesada via SMC: Para abordar a verossimilhança intratável, os autores empregam um algoritmo SMC para gerar uma estimativa não viesada da função de verossimilhança.
   • Distribuição de Proposta: Uma inovação fundamental é o uso de uma distribuição de proposta uniforme ordenada para os tempos de eventos latentes dentro de um intervalo, condicionados às contagens observadas. Isso garante que cada partícula proposta seja consistente com os dados observados (ao contrário de propostas de Poisson, que podem gerar partículas com peso zero). Os tipos de eventos são atribuídos via uma distribuição hipergeométrica multivariada.
   • Reamostragem Adaptativa: O algoritmo SMC utiliza reamostragem adaptativa baseada no Tamanho Efetivo de Amostra (ESS) para mitigar a degenerescência de partículas, minimizando simultaneamente a introdução de ruído de Monte Carlo.
3. Algoritmo PMMH: A estimativa não viesada da verossimilhança via SMC é substituída pela verdadeira verossimilhança dentro de um algoritmo de Metropolis-Hastings. Resultados teóricos (Andrieu e Roberts, 2009) garantem que a distribuição estacionária da cadeia de Markov resultante é a verdadeira distribuição posterior dos parâmetros, desde que o estimador de verossimilhança seja não viesado.
4. Estimativa de Parâmetros: A média ou mediana posterior serve como a estimativa pontual, com intervalos de credibilidade derivados dos quantis da amostra MCMC. O método suporta taxas de fundo variantes no tempo (modeladas via B-splines) e lida com janelas de observação de tamanhos desiguais.

Principais Contribuições

• Inferência Não Viesada: O artigo fornece um método para realizar inferência Bayesiana exata (no limite de partículas infinitas) para MHPs observados discretamente, construindo um estimador de verossimilhança não viesado.
• Mecanismo de Proposta Eficiente: A introdução da proposta uniforme ordenada reduz significativamente a variância da estimativa de log-verossimilhança em comparação com propostas baseadas em Poisson. Isso permite que o algoritmo PMMH convirja com um número muito menor de partículas, melhorando drasticamente a eficiência computacional.
• Flexibilidade: A estrutura acomoda taxas de fundo não estacionárias e janelas de observação irregulares sem exigir aumento de dados (data augmentation) ou discretização do modelo.

Resultados

• Estudos de Simulação:
  • Validade: As estimativas de SMC para probabilidades de eventos convergem para as estimativas reais de Monte Carlo com baixo viés e variância conforme o número de partículas aumenta.
  • Eficiência da Proposta: A proposta uniforme ordenada produz uma variância significativamente menor nas estimativas de log-verossimilhança em comparação com as propostas de Poisson, permitindo o uso de menos partículas (ex: $J=10$) mantendo a precisão.
  • Comparação de Desempenho: Em simulações através de diferentes níveis de agregação ($\Delta \in \{0.1, 0.5, 1.0\}$), o estimador PMMH demonstrou viés mínimo e intervalos de confiança bem calibrados. Superou os métodos MCEM e de Processo de Hawkes de Granularidade Grossa (CGHP) em termos de Erro Quadrático Médio (MSE), particularmente em níveis de agregação mais altos, onde esses métodos exibiram viés significativo.
  • Velocidade Computacional: O método PMMH foi mais rápido que a abordagem MCMC Bayesiana (que não pôde ser paralelizada na implementação referenciada) e que os métodos MCEM/CGHP, escalando eficientemente com a computação paralela de partículas.
• Aplicação Empírica:
  • O método foi aplicado a contagens diárias de ataques terroristas em Kabul–Nangarhar (Afeganistão) e Khyber Pakhtunkhwa (Paquistão) de 2018 a 2021.
  • O modelo capturou com sucesso a dinâmica, revelando autoexcitação significativa em ambas as regiões e forte excitação cruzada do Paquistão para o Afeganistão ($\hat{\eta}_{1,2} = 0.438$).
  • As taxas de fundo estimadas refletiram a aceleração dos ataques no Afeganistão após a retirada dos EUA, consistente com relatórios externos. O modelo ajustou-se bem aos dados observados, com as contagens empíricas situando-se dentro dos quantis de 95% simulados.

Significância e Alegações
Os autores alegam que seu método oferece uma alternativa estatisticamente rigorosa e computacionalmente eficiente para analisar MHPs observados discretamente. Ao aproveitar a natureza não viesada do SMC dentro de uma estrutura PMMH, o método evita o viés inerente ao MCEM e os erros de aproximação de modelos de granularidade grossa. A contribuição específica da proposta uniforme ordenada é destacada como o fator crítico que permite a velocidade e estabilidade do método, tornando-o competitivo com alternativas de alta qualidade, ao mesmo tempo em que fornece quantificação imediata de incerteza (intervalos de credibilidade) e flexibilidade para processos não estacionários. O artigo observa modestamente que, embora os estimadores tenham um bom desempenho empírico, a prova teórica de consistência e normalidade assintótica para o contexto específico de MHP permanece como um tema para trabalhos futuros, baseando-se atualmente na teoria geral de SMC/PMMH.