Parametric inference for the discretely observed multivariate Hawkes process using particle Markov Chain Monte Carlo

Resumen Técnico: Inferencia Paramétrica para Procesos de Hawkes Multivariantes Observados Discretamente

Planteamiento del Problema
El Proceso de Hawkes Multivariante (MHP, por sus siglas en inglés) es un modelo estándar para analizar secuencias de eventos multidimensionales caracterizados por la autoexcitación y la excitación cruzada. Si bien la Estimación de Máxima Verosimilitud (MLE) y los algoritmos de Expectativa-Maximización (EM) son métodos bien establecidos para los MHP con tiempos de eventos precisos, estos fallan cuando los datos se observan únicamente en intervalos discretos (conteos agregados). En tales escenarios, la función de verosimilitud se vuelve analíticamente intratable porque los tiempos y tipos exactos de los eventos dentro de los intervalos son variables latentes no observadas. Los enfoques existentes para este problema, como las aproximaciones de Procesos Autorregresivos de Valor Entero (INAR), el Monte Carlo EM (MCEM) modificado, los procesos de Hawkes de grano grueso y el MCMC Bayesiano, suelen sufrir de sesgo, ineficiencia computacional o incapacidad para manejar tasas de fondo no estacionarias e intervalos de censura desiguales.

Metodología
Los autores proponen un marco para la inferencia paramétrica utilizando Metropolis-Hastings de Pseudo-Marginal (PMMH) combinado con Monte Carlo Secuencial (SMC).

1. Representación de Espacio de Estados: Los tiempos y tipos de eventos no observados dentro de cada intervalo de observación se tratan como variables latentes en un modelo de espacio de estados. La verosimilitud de los datos agregados se factoriza en un producto de probabilidades condicionales sobre los intervalos de tiempo.
2. Estimación de Verosimilitud No Sesgada mediante SMC: Para abordar la verosimilitud intratable, los autores emplean un algoritmo de SMC para generar una estimación insesgada de la función de verosimilitud.
   • Distribución de Propuesta: Una innovación clave es el uso de una distribución de propuesta uniforme ordenada para los tiempos de eventos latentes dentro de un intervalo, condicionados a los conteos observados. Esto asegura que cada partícula propuesta sea consistente con los datos observados (a diferencia de las propuestas de Poisson, que pueden generar partículas con peso cero). Los tipos de eventos se asignan mediante una distribución hipergeométrica multivariante.
   • Remuestreo Adaptativo: El algoritmo SMC utiliza un remuestreo adaptativo basado en el Tamaño Efectivo de la Muestra (ESS) para mitigar la degeneración de partículas, minimizando al mismo tiempo la introducción de ruido de Monte Carlo.
3. Algoritmo PMMH: La estimación de verosimilitud insesgada del SMC se sustituye por la verosimilitud real dentro de un algoritmo de Metropolis-Hastings. Resultados teóricos (Andrieu y Roberts, 2009) garantizan que la distribución estacionaria de la cadena de Markov resultante es la verdadera distribución posterior de los parámetros, siempre que el estimador de verosimilitud sea insesgado.
4. Estimación de Parámetros: La media o mediana posterior sirve como la estimación puntual, y los intervalos de credibilidad se derivan de los cuantiles de la muestra MCMC. El método admite tasas de fondo variables en el tiempo (modeladas mediante B-splines) y maneja ventanas de observación de tamaños desiguales.

Contribuciones Clave

• Inferencia Insesgada: El artículo proporciona un método para realizar inferencia Bayesiana exacta (en el límite de partículas infinitas) para MHP observados discretamente mediante la construcción de un estimador de verosimilitud insesgado.
• Mecanismo de Propuesta Eficiente: La introducción de la propuesta uniforme ordenada reduce significativamente la varianza de la estimación de la log-verosimilitud en comparación con las propuestas de Poisson. Esto permite que el algoritmo PMMH converja con un número mucho menor de partículas (órdenes de magnitud menos), mejorando drásticamente la eficiencia computacional.
• Flexibilidad: El marco acomoda tasas de fondo no estacionarias y ventanas de observación irregulares sin requerir aumentación de datos o discretización del modelo.

Resultados

• Estudios de Simulación:
  • Validez: Las estimaciones de SMC de las probabilidades de eventos convergen a las estimaciones reales de Monte Carlo con bajo sesgo y varianza a medida que aumenta el número de partículas.
  • Eficiencia de la Propuesta: La propuesta uniforme ordenada produce una varianza significativamente menor en las estimaciones de log-verosimilitud en comparación con las propuestas de Poisson, lo que permite el uso de menos partículas (por ejemplo, $J=10$) manteniendo la precisión.
  • Comparación de Rendimiento: El estimador PMMH demostró un sesgo mínimo y cuantiles de confianza bien calibrados en simulaciones a través de varios niveles de agregación ($\Delta \in \{0.1, 0.5, 1.0\}$). Superó a los métodos MCEM y de Procesos de Hawkes de Grano Grueso (CGHP) en términos de Error Cuadrático Medio (MSE), particularmente en niveles de agregación más altos donde esos métodos exhibieron un sesgo significativo.
  • Velocidad Computacional: El método PMMH fue más rápido que el enfoque de MCMC Bayesiano (que no podía paralelizarse en la implementación referenciada) y que los métodos MCEM/CGHP, escalando eficientemente con la computación paralela de partículas.
• Aplicación Empírica:
  • El método se aplicó a los conteos diarios de ataques terroristas en Kabul–Nangarhar (Afganistán) y Khyber Pakhtunkhwa (Pakistán) de 2018 a 2021.
  • El modelo capturó con éxito la dinámica, revelando una autoexcitación significativa en ambas regiones y una fuerte excitación cruzada de Pakistán hacia Afganistán ($\hat{\eta}_{1,2} = 0.438$).
  • Las tasas de fondo estimadas reflejaron la aceleración de los ataques en Afganistán tras la retirada de EE. UU., de acuerdo con informes externos. El modelo se ajustó bien a los datos observados, con los conteos empíricos cayendo dentro de los cuantiles del 95% simulados.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores afirman que su método ofrece una alternativa estadísticamente rigurosa y computacionalmente eficiente para analizar MHP observados discretamente. Al aprovechar la naturaleza insesgada de SMC dentro de un marco PMMH, el método evita el sesgo inherente a MCEM y los errores de aproximación de los modelos de grano grueso. La contribución específica de la propuesta uniforme ordenada se destaca como el factor crítico que permite la velocidad y estabilidad del método, haciéndolo competitivo con otras alternativas de alta calidad mientras proporciona cuantificación inmediata de la incertidumbre (intervalos de credibilidad) y flexibilidad para procesos no estacionarios. El artículo señala modestamente que, si bien los estimadores funcionan bien empíricamente, la prueba teórica de consistencia y normalidad asintótica para el contexto específico de MHP sigue siendo un tema para trabajos futuros, apoyándose actualmente en la teoría general de SMC/PMMH.