Neural Networks for Parameter Estimation of the Discretely Observed Hawkes Process

Resumo Técnico: Redes Neurais para Estimativa de Parâmetros de Processos de Hawkes Discretamente Observados

Enunciado do Problema
O processo de Hawkes é um processo de pontos autoexcitáveis amplamente utilizado para modelar sequências de eventos em campos como sismologia, finanças e epidemiologia. Embora a estimativa de parâmetros seja bem estabelecida para dados observados continuamente via Máxima Verossimilhança (ML) ou Expectativa-Maximização (EM), esses métodos tornam-se inviáveis quando o processo é observado apenas discretamente (censura por intervalo). Neste cenário, apenas as contagens totais de eventos dentro de intervalos disjuntos são conhecidas, tornando a função de verossimilhança analiticamente intratável.

As abordagens existentes para este problema enfrentam um compromisso entre precisão e eficiência computacional. Métodos aproximados, como os de Shlomovich et al. (2022b) e Schneider e Weber (2023), tentam reconstruir tempos de eventos latentes, mas exibem um viés significativo. Por outro lado, métodos altamente precisos como o algoritmo de Metropolis–Hastings Pseudo-Marginal (PMMH) (Chen et al., 2025) são computacionalmente proibitivos, particularmente para processos não markovianos ou grandes conjuntos de dados. Há uma necessidade de um estimador que ofereça uma precisão comparável ao PMMH, mas com custos computacionais significativamente reduzidos.

Metodologia
Os autores propõem uma abordagem livre de verossimilhança utilizando uma Rede Neural (NN) totalmente conectada e feed-forward para estimar os parâmetros do processo de Hawkes a partir de estatísticas resumidas de dados de contagem. A metodologia consiste em três componentes principais:

1. Construção da Estatística Resumida:
   Em vez de alimentar as sequências de contagem brutas na rede, os autores constroem uma estatística resumida de baixa dimensão baseada em estimativas de imputação "ingênua".

• Estimativa de Imputação Única: Para o caso markoviano (kernel exponencial), um caminho de amostra latente é construído distribuindo uniformemente os eventos dentro de seus intervalos observados. A Estimativa de Máxima Verossimilhança (MLE) dos parâmetros de Hawkes é então computada a partir deste caminho imputado. Isso serve como uma estatística resumida altamente informativa de dimensão mínima.
• Autorregressão Binomial Negativa (NBAR): Para kernels não markovianos (não exponenciais), a estimativa de imputação é suplementada com parâmetros NBAR. Um modelo NBAR é ajustado às contagens observadas para capturar a estrutura de dependência e a sobredispersão, fornecendo informações adicionais sobre a densidade de descendentes (offspring density).
• Adaptabilidade: A estatística resumida é projetada para lidar com intervalos de censura de tamanhos desiguais e taxas de fundo variantes no tempo, normalizando as taxas e utilizando aproximações por partes para os volumes de fundo.

2. Arquitetura e Treinamento da Rede Neural:

• Entrada/Saída: A NN recebe a estatística resumida como entrada e produz um vetor contendo a mediana posterior (estimativa pontual) e os quantis superior e inferior $\tau$ para cada parâmetro. Isso permite a estimativa pontual simultânea e a quantificação da incerteza bayesiana.
• Função de Perda: A rede é treinada usando uma função de perda de quantil (pinball loss) para visar quantis específicos da distribuição posterior $p(\theta | s)$.
• Inferência Amortizada: A NN é treinada uma única vez em um grande conjunto de dados simulados (pares parâmetro-observação gerados a partir de uma prior). Uma vez treinada, a rede realiza a inferência em novos dados via uma única passagem direta (forward pass), tornando o custo de inferência desprezível, independentemente do comprimento do caminho de amostra.

3. Distribuição Prior:
   Os autores utilizam uma prior "normal de softplus inversa" (ISN) para parâmetros positivos e uma prior log-normal para a razão de ramificação $\eta$. Essas escolhas são práticas, visando colocar massa suficiente próxima a zero e dentro do intervalo unitário para melhorar o desempenho da NN para pequenos valores de parâmetros sem impactar a generalização.

Principais Resultados
Experimentos de simulação demonstram que o estimador de NN proposto apresenta desempenho comparável ao estimador PMMH de última geração em termos de precisão (Erro Quadrático Médio) e probabilidades de cobertura.

• Precisão: Para kernels exponenciais, as estimativas da NN exibem viés empírico mínimo, aproximando-se dos resultados do PMMH em vários níveis de agregação ($\Delta$).
• Eficiência: A abordagem de NN oferece uma redução drástica no tempo de computação em comparação ao PMMH. Enquanto o PMMH exige amostragem iterativa e é computacionalmente caro, a NN fornece inferência quase instantânea após a fase inicial de treinamento.
• Comparação com Alternativas: O estimador de NN supera os métodos espectrais (estimador de Whittle) e os métodos de reconstrução enviesados (MCEM) tanto em precisão quanto em estabilidade.
• Aplicação no Mundo Real: O método é aplicado a dados semanais de sarampo em Tóquio e dados de Salmonella em Nova Gales do Sul. Os resultados replicam achados de estudos anteriores (Cheysson e Lang, 2022; Chen et al., 2025) e modelam com sucesso taxas de fundo variantes no tempo para flutuações sazonais.

Significância e Alegações
O artigo afirma que o método proposto consegue preencher a lacuna entre a alta precisão dos métodos baseados em verossimilhança (como o PMMH) e a eficiência computacional necessária para aplicações práticas.

• Inferência Amortizada: Uma contribuição primária é a demonstração da "inferência amortizada", onde o custo computacional é deslocado inteiramente para a fase de treinamento. Isso permite a análise de longos caminhos de amostra ou dados em tempo real sem necessidade de retreinamento ou ajuste adicional de modelo.
• Robustez a Restrições de Dados: O método lida com intervalos de tamanhos desiguais e taxas de fundo variantes no tempo, superando as limitações de métodos espectrais e de verossimilhança aproximada existentes.
• Quantificação de Incerteza: Diferente de muitos métodos aproximados que carecem de estimativas de erro padrão, a NN fornece intervalos de credibilidade marginais diretamente através da estimativa de quantis.
• Simplicidade: A estatística resumida baseia-se em imputação e autorregressão simples, exigindo conhecimento especializado mínimo para o design em comparação com esquemas complexos de reconstrução de caminho latente.

Os autores concluem que, embora o algoritmo PMMH permaneça o padrão ouro para precisão, o estimador de NN oferece uma alternativa altamente escalável, rápida e precisa para processos de Hawkes observados discretamente, particularmente em cenários onde velocidade e escalabilidade são críticas.