Neural Networks for Parameter Estimation of the Discretely Observed Hawkes Process

Resumen Técnico: Redes Neuronales para la Estimación de Parámetros del Proceso de Hawkes Observado Discretamente

Planteamiento del Problema
El proceso de Hawkes es un proceso de puntos autoexcitables ampliamente utilizado para modelar secuencias de eventos en campos como la sismología, las finanzas y la epidemiología. Si bien la estimación de parámetros está bien establecida para datos observados continuamente mediante la Verosimilitud Máxima (ML) o la Maximización de la Esperanza (EM), estos métodos se vuelven inviables cuando el proceso se observa solo de forma discreta (censura por intervalo). En este escenario, solo se conocen los conteos totales de eventos dentro de intervalos de tiempo disjuntos, lo que hace que la función de verosimilitud sea analíticamente intratable.

Los enfoques existentes para este problema enfrentan un compromiso entre precisión y eficiencia computacional. Los métodos aproximados, como los de Shlomovich et al. (2022b) y Schneider y Weber (2023), intentan reconstruir los tiempos de eventos latentes pero exhiben un sesgo significativo. Por el contrario, los métodos altamente precisos como el algoritmo de Metropolis–Hastings Pseudo-Marginal (PMMH) (Chen et al., 2025) son computacionalmente prohibitivos, particularmente para procesos no markovianos o conjuntos de datos grandes. Existe la necesidad de un estimador que ofrezca una precisión comparable al PMMH pero con costos computacionales significativamente reducidos.

Metodología
Los autores proponen un enfoque libre de verosimilitud utilizando una Red Neuronal (NN) totalmente conectada y de alimentación hacia adelante (feed-forward) para estimar los parámetros del proceso de Hawkes a partir de estadísticas resumidas de los datos de conteo. La metodología consta de tres componentes principales:

1. Construcción de la Estadística Resumida:
   En lugar de introducir secuencias de conteos brutos en la red, los autores construyen una estadística resumida de baja dimensión basada en estimaciones de imputación "naíf".

   • Estimación de Imputación Única: Para el caso markoviano (núcleo exponencial), se construye una trayectoria de muestra latente distribuyendo uniformemente los eventos dentro de sus intervalos observados. El Estimador de Máxima Verosimilitud (MLE) de los parámetros de Hawkes se calcula a partir de esta trayectoria imputada. Esto sirve como una estadística resumida altamente informativa de dimensión mínima.
   • Autorregresión Binomial Negativa (NBAR): Para núcleos no markovianos (no exponenciales), la estimación de imputación se complementa con los parámetros de NBAR. Se ajusta un modelo NBAR a los conteos observados para capturar la estructura de dependencia y la sobredispersión, proporcionando información adicional sobre la densidad de descendencia.
   • Adaptabilidad: La estadística resumida está diseñada para manejar intervalos de censura de tamaños desiguales y tasas de fondo variables en el tiempo, normalizando las tasas y utilizando aproximaciones por partes para los volúmenes de fondo.

2. Arquitectura y Entrenamiento de la Red Neuronal:

   • Entrada/Salida: La NN toma la estadística resumida como entrada y devuelve un vector que contiene la mediana posterior (estimación puntual) y los cuantiles $\tau$ superior e inferior para cada parámetro. Esto permite la estimación puntual simultánea y la cuantificación de la incertidumbre bayesiana.
   • Función de Pérdida: La red se entrena utilizando una función de pérdida de cuantiles (pérdida pinball) para apuntar a cuantiles específicos de la distribución posterior $p(\theta | s)$.
   • Inferencia Amortizada: La NN se entrena una sola vez en un gran conjunto de datos simulados (pares de parámetros-observación generados desde una distribución prior) . Una vez entrenada, la red realiza la inferencia en nuevos datos mediante una única pasada hacia adelante (forward pass), haciendo que el costo de la inferencia sea insignificante independientemente de la longitud de la trayectoria de la muestra.

3. Distribución Prior:
   Los autores utilizan una distribución prior "normal de softplus inversa" (ISN) para los parámetros positivos y una prior logit-normal para la razón de ramificación $\eta$. Estas elecciones son prácticas, con el objetivo de colocar suficiente masa cerca de cero y dentro del intervalo unitario para mejorar el rendimiento de la NN para valores de parámetros pequeños sin afectar significativamente la generalizabilidad.

Resultados Clave
Los experimentos de simulación demuestran que el estimador de la NN propuesta tiene un desempeño comparable al estimador PMMH del estado del arte en términos de precisión (Error Cuadrático Medio) y probabilidades de cobertura.

• Precisión: Para núcleos exponenciales, los estimados de la NN exhiben un sesgo empírico mínimo, igualando estrechamente los resultados de PMMH a través de varios niveles de agregación ($\Delta$).
• Eficiencia: El enfoque de la NN ofrece una reducción dramática en el tiempo de cómputo en comparación con PMMH. Mientras que PMMH requiere muestreo iterativo y es computacionalmente costoso, la NN proporciona una inferencia casi instantánea tras la fase inicial de entrenamiento.
• Comparación con Alternativas: El estimador de la NN supera a los métodos espectrales (estimador de Whittle) y a los métodos de reconstrucción sesgados (MCEM) tanto en precisión como en estabilidad.
• Aplicación en el Mundo Real: El método se aplica a datos semanales de sarampión en Tokio y datos de Salmonella en Nueva Gales del Sur. Los resultados replican hallazgos de estudios previos (Cheysson y Lang, 2022; Chen et al., 2025) y modelan con éxito tasas de fondo variables en el tiempo para fluctuaciones estacionales.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que el método propuesto logra cerrar la brecha entre la alta precisión de los métodos basados en verosimilitud (como PMMH) y la eficiencia computacional requerida para aplicaciones prácticas.

• Inferencia Amortizada: Una contribución primaria es la demostración de la "inferencia amortizada", donde el costo computacional se traslada enteramente a la fase de entrenamiento. Esto permite el análisis de trayectorias de muestra largas o datos en tiempo real sin necesidad de reentrenamiento o ajuste adicional del modelo.
• Robustez ante Restricciones de Datos: El método maneja intervalos de tamaños desiguales y tasas de fondo variables en el tiempo, superando las limitaciones de los métodos espectrales y de aproximación de verosimilitud existentes.
• Cuantificación de la Incertidumbre: A diferencia de muchos métodos aproximados que carecen de estimaciones de error estándar, la NN proporciona intervalos de credibilidad marginales directamente mediante la estimación de cuantiles.
• Simplicidad: La estadística resumida depende de una imputación y una autorregresión simples, lo que requiere un conocimiento experto mínimo en comparación con los esquemas complejos de reconstrucción de trayectorias latentes.

Los autores concluyen que, si bien el algoritmo PMMH sigue siendo el estándar de oro para la precisión, el estimador de la NN ofrece una alternativa altamente escalable, rápida y precisa para los procesos de Hawkes observados discretamente, particularmente en entornos donde la velocidad y la escalabilidad son críticas.