Periodic solutions for p(t)-Lienard equations with a singular nonlinearity of attractive type

Resumo Técnico: Soluções Periódicas para Equações de Liénard $p(t)$ com Singularidade Atrativa

Autores: Petru Jebelean, Jean Mawhin e Călin Şerban.
Foco Principal: Existência de soluções periódicas $T$-periódicas para equações diferenciais do tipo Liénard envolvendo o operador $p(t)$-Laplaciano com uma não linearidade singular do tipo atrativo.

1. O Problema Estudado

O artigo investiga a existência de soluções para o seguinte problema de valor de contorno periódico:

$$\begin{cases} (\phi_{p(t)}(u'(t)))' + f(u(t))u'(t) + g(u(t)) = h(t), & t \in [0, T], \\ u(0) - u(T) = 0 = u'(0) - u'(T), \end{cases}$$

Onde:

• $\phi_{p(t)}(x) = |x|^{p(t)-2}x$ é o operador $p(t)$-Laplaciano, com $p: [0, T] \to (1, \infty)$ contínua e $p(0)=p(T)$.
• $f: [0, \infty) \to \mathbb{R}$ e $h \in C([0, T]; \mathbb{R})$ são funções contínuas.
• $g: (0, \infty) \to \mathbb{R}$ é contínua e possui uma singularidade atrativa na origem, ou seja, $\lim_{x \to 0^+} g(x) = +\infty$.
• O objetivo é encontrar soluções $u(t)$ estritamente positivas ($u(t) > 0$) no intervalo $[0, T]$.

Este problema generaliza casos clássicos onde $p(t) \equiv 2$ (Laplaciano usual) ou $p(t) \equiv p > 1$ (Laplaciano $p$-constante), estendendo-os para o caso de expoentes variáveis no tempo.

2. Metodologia

Os autores utilizam uma abordagem topológica combinada com o método de soluções inferiores e superiores. A estratégia divide-se em três etapas principais:

1. Teorema de Continuação (Topologia):

   • Baseiam-se em um teorema de continuação recente (referência [4] do artigo) aplicado a sistemas de segunda ordem envolvendo generalizações do $p$-Laplaciano vetorial.
   • O teorema (Teorema 2.3 no artigo) garante a existência de uma solução se três condições forem satisfeitas em um conjunto aberto limitado $\Omega$:
     • (H1) Ausência de soluções no bordo para a família homotópica parametrizada por $\lambda \in (0, 1)$.
     • (H2) Ausência de soluções no bordo para a equação média (projeção no espaço nulo).
     • (H3) O grau de Brouwer da projeção média não é nulo.

2. Problemas Auxiliares e Estimativas A Priori:

   • Para verificar as condições do teorema de continuação, os autores analisam problemas auxiliares do tipo $(\phi_{p(t)}(u'))' + \theta(u)u' - \varepsilon u = e(t)$.
   • Estabelecem limites a priori rigorosos para a norma $C^1$ das soluções ($\|u\|_\infty$ e $\|u'\|_\infty$) utilizando desigualdades de Sobolev, desigualdade de Hölder e a desigualdade de Poincaré-Wirtinger adaptada para espaços de expoente variável.
   • Demonstram que, para $\varepsilon > 0$, as soluções permanecem em uma bola limitada, e estendem o resultado para o caso $\varepsilon = 0$ (Teorema 2.7), garantindo a existência de soluções com média zero.

3. Método de Soluções Inferiores e Superiores:

   • O artigo fornece uma prova direta (Teorema 3.3) da validade do método de soluções inferiores ($\alpha$) e superiores ($\beta$) para o caso $p(t)$-Laplaciano.
   • Define-se uma função truncada $\gamma(t, x)$ que "protege" a solução entre $\alpha$ e $\beta$, transformando o problema original em um problema modificado sem singularidade.
   • Demonstra-se que qualquer solução do problema modificado satisfaz necessariamente $\alpha(t) \leq u(t) \leq \beta(t)$, resolvendo assim o problema original com a singularidade.

3. Resultados Principais

• Teorema de Existência Geral (Teorema 4.1):
  O problema (1.1) possui pelo menos uma solução $u(t) \geq \alpha > 0$ se:

  1. Existe uma constante $\alpha > 0$ tal que $g(\alpha) \geq \max_{[0,T]} h(t)$.
  2. $\limsup_{x \to +\infty} g(x) < \min_{[0,T]} h(t)$ (condição de comportamento assintótico).

• Corolário para Singularidade Atrativa Pura (Corolário 4.3):
  Se $g(x) \to +\infty$ quando $x \to 0^+$ e $g(x) \to 0$ quando $x \to +\infty$, então o problema possui uma solução positiva se e somente se a média da função forçante $h$ for estritamente positiva ($h > 0$).

  • Nota: A condição $h > 0$ é necessária porque, integrando a equação sobre $[0, T]$ e usando a periodicidade, o termo $(\phi_{p(t)}(u'))'$ e o termo de amortecimento $f(u)u'$ somam zero, restando $\int g(u) = \int h$. Como $g > 0$, a integral de $h$ deve ser positiva.

• Exemplo Aplicado (Exemplo 4.4):
  O resultado é aplicado a equações com singularidade do tipo força de Coulomb ou gravitacional modificada:
  $$(\phi_{p(t)}(u'))' + f(u)u' + \frac{\sigma}{u^\mu} = h(t)$$
  Com $\sigma, \mu > 0$. A existência de solução é garantida se e somente se $h > 0$.

4. Contribuições e Significância

1. Generalização do Operador: O trabalho estende resultados clássicos conhecidos para o Laplaciano ($p=2$) e o $p$-Laplaciano ($p$ constante) para o caso mais complexo e não linear do $p(t)$-Laplaciano, onde o expoente varia no tempo. Isso é crucial para modelar materiais com propriedades não homogêneas (como fluidos não newtonianos ou eletrorreológicos).
2. Tratamento de Singularidades: O artigo lida rigorosamente com singularidades atrativas (forças que tendem a infinito quando a variável se aproxima de zero), um cenário comum em física (ex: órbitas planetárias, modelos de plasma) que exige técnicas especiais para garantir que a solução não toque em zero.
3. Abordagem Não Variacional: Diferente de muitos trabalhos recentes que usam métodos variacionais em espaços de Sobolev de expoente variável (que exigem estruturas variacionais que este problema não possui devido ao termo de Liénard $f(u)u'$), os autores utilizam uma abordagem topológica pura (grau de Brouwer e método de soluções inferiores/superiores). Isso permite tratar uma classe mais ampla de funções $f$ e $g$ que não derivam de um potencial.
4. Completude do Caso Atrativo: O artigo fecha a lacuna teórica para o caso de forças atrativas no contexto $p(t)$-Laplaciano. Os autores notam que o caso de forças repulsivas ($\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty$) permanece como um problema em aberto para esta generalização específica.

Em suma, o artigo fornece uma ferramenta robusta e generalizada para a análise de existência de soluções periódicas em sistemas dinâmicos não lineares com expoentes variáveis e singularidades, consolidando a teoria de equações diferenciais com operadores $p(t)$-Laplaciano.