A $C^0$ weak Galerkin method with preconditioning for constrained optimal control problems with general tracking

Título: Um Método de Galerkin Fraco $C^0$ com Pré-condicionamento para Problemas de Controle Ótimo Restrito com Rastreamento Geral

1. O Problema

O artigo aborda Problemas de Controle Ótimo (OCPs) governados por Equações Diferenciais Parciais (EDPs), especificamente aqueles que envolvem:

• Funcionais de Custo de Rastreamento Geral: O objetivo é fazer com que o estado do sistema corresponda a um estado desejado ($y_d$) em características espaciais específicas, como pontos, curvas ou subdomínios (em vez de apenas em todo o domínio). Isso introduz medidas de Radon no funcional de custo.
• Restrições Pontuais de Estado: O estado do sistema ($y$) deve permanecer dentro de limites inferior e superior ($\psi_- \le y \le \psi_+$) quase em todo o domínio.
• Desafios Analíticos e Numéricos: A combinação de rastreamento geral e restrições pontuais reduz a regularidade da solução ótima (o estado ótimo e os multiplicadores de Lagrange podem ter regularidade reduzida, pertencendo a espaços como $W^{3,s}_{loc}$ ou $H^{2+\alpha}$). Além disso, a eliminação da variável de controle via a EDP leva a uma formulação reduzida que é uma inequação variacional de quarta ordem. A discretização numérica dessas inequações gera sistemas lineares mal condicionados, dificultando a convergência de solvers iterativos.

2. Metodologia Proposta

Os autores propõem uma abordagem dupla composta por um novo método de discretização e um pré-condicionador:

A. Método de Galerkin Fraco $C^0$ ($C^0$-WG):

• Elementos Finitos: Utiliza elementos de Lagrange quadráticos ($P_2$) globalmente contínuos.
• Laplaciano Fraco: Em vez de usar derivadas de segunda ordem fortes (como nos métodos conformes $C^1$) ou penalidades simétricas complexas (como no método $C^0$-IP), o método emprega um Laplaciano Fraco Discreto ($\Delta_w$).
• Formulação: O Laplaciano fraco é calculado localmente em cada elemento como uma função constante por partes, baseada nos valores das funções nos baricentros das interfaces e em dados geométricos.
• Estabilização: O método utiliza um termo de estabilização (penalidade) que é livre de parâmetros (não requer o ajuste de um parâmetro de penalidade $\rho$ grande, ao contrário do método $C^0$-IP). A forma bilinear é composta pelo produto interno $L^2$ dos Laplacianos fracos e um termo de estabilização simples baseado no salto das derivadas normais.
• Vantagem: Permite a montagem eficiente da matriz de rigidez elemento a elemento, sem termos de traço complexos, mantendo a precisão e a estabilidade.

B. Pré-condicionador de Schwarz Aditivo:

• Para resolver os sistemas lineares mal condicionados resultantes da discretização de quarta ordem, os autores desenvolvem um pré-condicionador de Schwarz Aditivo de um nível.
• O domínio é particionado em subdomínios sobrepostos. O problema global é decomposto em problemas locais menores que são resolvidos independentemente e combinados aditivamente.
• Isso melhora significativamente o número de condição do sistema, permitindo o uso eficiente de solvers iterativos escaláveis.

3. Contribuições Principais

1. Desenvolvimento do Método $C^0$-WG para OCPs: A primeira aplicação de um método de Galerkin Fraco baseado em elementos $C^0$ quadráticos para problemas de controle ótimo com restrições pontuais e rastreamento geral. A formulação elimina a necessidade de parâmetros de penalidade e termos de traço, simplificando a implementação e reduzindo a complexidade computacional em comparação com o método $C^0$-IP.
2. Análise de Erro Rigorosa: Estabelecimento da existência, unicidade e taxas de convergência ótimas para o método proposto, conectando-o teoricamente ao método $C^0$-IP existente e demonstrando que o método $C^0$-WG mantém a precisão necessária mesmo com a baixa regularidade da solução.
3. Pré-condicionador Adaptado: Desenvolvimento e análise de um pré-condicionador de Schwarz Aditivo específico para a formulação $C^0$-WG. A análise teórica mostra que o número de condição do sistema pré-condicionado cresce de forma mitigada (melhor que $O(h^{-4})$), garantindo estabilidade numérica.

4. Resultados Numéricos

Os experimentos numéricos foram realizados em problemas bi-harmônicos e em problemas de controle ótimo restrito em 2D:

• Precisão: O método $C^0$-WG demonstrou taxas de convergência superiores ou iguais às do método $C^0$-IP em várias normas ($L^\infty$, $L^2$, $H^1$). Em particular, o método $C^0$-WG produziu aproximações mais precisas para o estado ótimo e o controle ótimo.
• Eficiência do Solver: A tabela de números de condição mostrou que, sem pré-condicionamento, o sistema cresce como $O(h^{-4})$. Com o pré-condicionador de Schwarz Aditivo, o crescimento foi drasticamente reduzido (abaixo de $O(h^{-3})$), e o número de condição foi reduzido em mais de duas ordens de magnitude.
• Robustez: O método mostrou-se robusto frente à baixa regularidade das soluções causada pelas restrições pontuais e pelo rastreamento em pontos específicos.

5. Significado e Impacto

Este trabalho oferece um framework computacional robusto e eficiente para uma classe difícil de problemas de controle ótimo de alta ordem.

• Solução de Limitações Existentes: Resolve o problema de ajuste de parâmetros de penalidade e a complexidade de montagem de matrizes associados aos métodos de penalidade interior ($C^0$-IP).
• Escalabilidade: A combinação com o pré-condicionador de Schwarz torna o método viável para simulações em larga escala e computação paralela.
• Aplicabilidade: A abordagem é generalizável para problemas em 3D e abre caminho para extensões futuras em problemas dependentes do tempo e não lineares.

Em resumo, o artigo propõe uma alternativa superior aos métodos tradicionais para OCPs com restrições complexas, unindo a flexibilidade do método de Galerkin Fraco com a eficiência de técnicas de decomposição de domínio.