Untangling Sample and Population Level Estimands in Bayesian Causal Inference

Resumo Técnico: Desemaranhando Estimandos de Nível de Amostra e de População na Inferência Causal Bayesiana

1. O Problema

A inferência causal baseada em modelos bayesianos tem ganhado popularidade, mas o artigo identifica um problema crítico: a confusão frequente entre estimandos de nível de amostra (sample-level) e estimandos de nível de população (population-level).

• Estimandos de Amostra: Referem-se a comparações de resultados potenciais para um subconjunto específico de sujeitos nos dados observados (ex: Efeito Individual do Tratamento - ITE, ou Efeito Médio do Tratamento na Amostra - SATE).
• Estimandos de População: Referem-se a comparações de resultados potenciais médios (ou outros resumos) em relação à distribuição da população da qual a amostra foi extraída (ex: Efeito Médio do Tratamento Condicionado - CATE, ou Efeito Médio do Tratamento na População - PATE).

O autor argumenta que, embora as suposições de identificação, modelagem e computação pareçam superficialmente semelhantes, a confluência desses conceitos leva a erros de implementação graves. Esses erros incluem a realização de suposições de "mundo cruzado" (cross-world) desnecessárias para estimandos populacionais, a imputação incorreta de contrafactuais e a interpretação equivocada de incertezas posteriores (ex: tratar a incerteza de um ITE como se fosse a de um CATE).

2. Metodologia e Estrutura Teórica

O artigo opera dentro do Modelo Causal de Rubin (RCM) e do quadro inferencial bayesiano. A metodologia baseia-se na distinção rigorosa entre as marginais da distribuição posterior conjunta de todos os desconhecidos.

• Distribuição Posterior Conjunta: A inferência começa com a distribuição conjunta $f(y^M, \omega | D_O)$, onde $y^M$ são os contrafactuais ausentes e $\omega$ são os parâmetros do modelo (incluindo a dependência entre resultados potenciais, $\rho$).
• Marginais Diferentes para Estimandos Diferentes:
  • Para Estimandos de Amostra (ITE, SATE): A inferência depende dos contrafactuais ausentes ($y^M$). A posterior marginal é obtida integrando os parâmetros, mas mantendo a dependência entre os pares de resultados potenciais de cada unidade. Isso frequentemente exige suposições de "mundo cruzado" (ex: independência condicional entre $Y(1)$ e $Y(0)$ dado $L$) que não são testáveis.
  • Para Estimandos de População (CATE, PATE): A inferência depende apenas dos parâmetros do modelo ($\omega$). Os contrafactuais ausentes são integrados (marginalizados) fora da distribuição. O PATE, por exemplo, é uma função dos parâmetros da distribuição de covariáveis e dos parâmetros do modelo de resultado.
• Abordagem Computacional: O autor utiliza o software Stan para demonstrar a implementação correta via MCMC (Monte Carlo via Cadeias de Markov).
  • Para estimandos de amostra, os contrafactuais devem ser declarados explicitamente no bloco de parameters do Stan e atualizados como qualquer outro parâmetro desconhecido.
  • Para estimandos de população, não é necessário imputar contrafactuais para cada sujeito; basta obter a distribuição posterior dos parâmetros e, se necessário, realizar simulações de Monte Carlo (MC) para integrar sobre a distribuição de covariáveis.

3. Contribuições Principais

O artigo oferece quatro exemplos detalhados com código em Stan para elucidar as diferenças sutis, mas substanciais:

1. Exemplo Simples (Normal Bivariada): Compara a inferência sob modelos paramétricos corretamente especificados. Demonstra que, embora as médias posteriores do SATE e PATE possam ser similares, as incertezas (intervalos de credibilidade) são drasticamente diferentes. O PATE possui maior variabilidade devido à incerteza na distribuição da covariável, enquanto o SATE depende apenas da incerteza dos contrafactuais específicos da amostra.
2. Modelos Flexíveis (DPM Truncado): Utiliza Misturas de Processos de Dirichlet (DPM) para capturar formas funcionais complexas.
   • Mostra como calcular o CATE e o PATE sem imputar contrafactuais para cada unidade, mas sim integrando sobre a distribuição de covariáveis via simulação MC.
   • Crítica ao MATE (Mixed Average Treatment Effect): Discute o uso da distribuição empírica (ou Bootstrap Bayesiano fixo) para estimar o PATE. O autor alerta que fixar os pesos da distribuição empírica (ignorar a incerteza na distribuição de covariáveis) resulta na estimativa do MATE, não do PATE, levando a subestimação da incerteza. Recomenda-se o uso do Bootstrap Bayesiano para propagar corretamente a incerteza da distribuição de covariáveis.
3. Estimandos Populacionais que Requerem Suposições de Mundo Cruzado: Apresenta um caso onde o estimando populacional (ex: probabilidade de falha sob ambos os tratamentos) depende da distribuição conjunta de $Y(1)$ e $Y(0)$. Aqui, mesmo para a população, é necessário modelar a dependência entre mundos (parâmetro $\rho$), demonstrando que nem todo estimando populacional evita suposições de mundo cruzado.
4. Múltiplos Tratamentos e Parâmetros de Mundo Cruzado: Analisa cenários com $K > 2$ tratamentos. Mostra que o número de parâmetros de dependência não identificáveis cresce polinomialmente ($K(K-1)/2$), tornando a inferência de nível de amostra (que exige a distribuição conjunta completa) extremamente complexa e sensível a suposições de modelo, enquanto a inferência populacional pode ser mais robusta se focada apenas nas marginais.

4. Resultados e Críticas Específicas

• Erro na Implementação da G-Fórmula Bayesiana (Keil et al., 2018): O artigo critica detalhadamente uma implementação comum da G-Fórmula Bayesiana. O autor demonstra que a abordagem descrita por Keil et al. mistura passos computacionais de estimandos de amostra (SATE) com o objetivo de estimar o PATE. Ao fixar as covariáveis na distribuição empírica e simular apenas $n$ vezes (tamanho da amostra), o método falha em capturar a incerteza da distribuição populacional e produz uma inferência condicional à amostra, não populacional. O autor nota que os próprios autores do código original reconheceram esse erro em commits posteriores do GitHub, admitindo tratar-se de um efeito causal de "amostra finita".
• Incerteza Posterior: A incerteza posterior para estimandos de amostra (ITE/SATE) é frequentemente menor do que para estimandos de população (CATE/PATE) quando a distribuição de covariáveis é incerta. Confundir as duas leva a intervalos de credibilidade incorretos.

5. Significado e Recomendações

O artigo conclui com uma mensagem central baseada no pensamento de primeiros princípios:

1. Definição Clara: O pesquisador deve começar definindo claramente qual estimando é de interesse científico (amostra vs. população).
2. Identificação de Desconhecidos: Deve-se articular quais quantidades desconhecidas esse estimando depende (apenas parâmetros vs. parâmetros + contrafactuais).
3. Lógica Bayesiana Rigorosa: A inferência deve seguir estritamente a lógica do Teorema de Bayes para encontrar a marginal posterior correta.
   • Se o objetivo é populacional, integre os contrafactuais e propague a incerteza da distribuição de covariáveis (ex: via Bootstrap Bayesiano).
   • Se o objetivo é de amostra, modele explicitamente a distribuição conjunta dos contrafactuais e assuma as dependências de mundo cruzado necessárias (com sensibilidade).

Conclusão: A distinção não é apenas teórica, mas tem implicações práticas diretas na codificação (Stan), na especificação do modelo e na interpretação dos resultados. Ignorar essa distinção pode levar a conclusões causais incorretas, seja por superestimação ou subestimação da precisão das estimativas, ou pela aplicação de suposições de identificação não testáveis onde não são necessárias.