Untangling Sample and Population Level Estimands in Bayesian Causal Inference

A continuación presento un resumen técnico detallado del artículo "Untangling Sample and Population Level Estimands in Bayesian Causal Inference" (Desenredando Estimandos a Nivel de Muestra y Población en la Inferencia Causal Bayesiana) de Arman Oganisian.

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda una fuente crítica de errores de implementación y malentendidos conceptuales en la inferencia causal bayesiana: la confusión entre estimandos a nivel de muestra (sample-level) y estimandos a nivel de población (population-level).

• La Confusión: Aunque ambos tipos de estimandos parecen similares en su formulación, requieren supuestos de identificación, modelos estadísticos y procedimientos computacionales distintos. La literatura reciente (incluyendo revisiones y trabajos previos de Ding & Li, 2018; Li et al., 2023) ha destacado estas diferencias, pero a menudo falta una guía detallada sobre la implementación práctica, especialmente con modelos no paramétricos flexibles.
• El Error Común: Los investigadores a menudo implementan algoritmos de MCMC (Monte Carlo vía Cadenas de Markov) que generan muestras de contrafactuales individuales (necesarios para efectos a nivel de muestra) y las interpretan erróneamente como muestras de efectos promedios poblacionales, o viceversa. Esto conduce a intervalos de credibilidad incorrectos y conclusiones sustantivas erróneas.
• El Núcleo del Problema: La distinción radica en qué marginal de la distribución posterior conjunta se está integrando.
  • Nivel de Muestra (ITE, SATE): Dependen de los contrafactuales faltantes ($Y^M$) de las unidades observadas. Requieren imputación explícita de estos contrafactuales y, a menudo, supuestos de "mundo cruzado" (cross-world assumptions) sobre la dependencia entre los resultados potenciales de una misma unidad.
  • Nivel de Población (CATE, PATE): Dependen de los parámetros que gobiernan la distribución de la población. No requieren imputar los contrafactuales faltantes de las unidades específicas; en su lugar, integran sobre la distribución de las covariables y los parámetros del modelo.

2. Metodología y Marco Teórico

El autor utiliza el Modelo Causal de Rubin (RCM) dentro del marco de inferencia bayesiana.

• Estructura de Datos: Se considera un conjunto de datos observado $D_O = \{y_i(a_i), a_i, l_i\}_{i=1}^n$ y un conjunto de contrafactuales faltantes $Y^M$. La distribución conjunta de los datos completos es $f(D_C; \omega)$.
• Distribución Posterior Conjunta: La inferencia se basa en la distribución posterior conjunta de los contrafactuales y los parámetros: $f(y^M, \omega | D_O) \propto f(D_C; \omega)f(\omega)$.
• Distinción de Marginales:
  • Para estimandos de muestra (ej. Efecto Individual del Tratamiento - ITE), la inferencia requiere la marginal $f(y^M | D_O)$. Esto implica actualizar (imputar) los contrafactuales faltantes en cada iteración del MCMC.
  • Para estimandos de población (ej. Efecto Promedio del Tratamiento en la Población - PATE), la inferencia requiere la marginal $f(\phi_{Y}, \phi_{L} | D_O)$, integrando (marginalizando) los contrafactuales faltantes.
• Supuestos de Mundo Cruzado:
  • Los estimandos de muestra a menudo requieren asumir la independencia condicional entre los resultados potenciales ($Y(1) \perp Y(0) | L$) o asumir una dependencia específica, ya que la distribución conjunta de los pares de resultados no es identificable.
  • Los estimandos de población (como el PATE) teóricamente no requieren estos supuestos si se integra sobre la distribución de la población, aunque ciertos estimandos poblacionales complejos (ej. efectos en compliers) sí pueden requerirlos.
• Herramientas Computacionales: El artículo utiliza el software Stan para implementar los modelos, destacando la importancia de declarar las variables latentes (contrafactuales) en el bloque parameters (para inferencia de muestra) versus calcularlas en el bloque generated quantities (para inferencia de población mediante simulación Monte Carlo).

3. Contribuciones Clave

El artículo ofrece cuatro contribuciones principales, ilustradas mediante ejemplos detallados con código:

1. Clarificación Conceptual y Computacional: Desglosa explícitamente cómo la lógica de Bayes y el cálculo de probabilidades dictan diferentes flujos de trabajo para ITE/SATE vs. CATE/PATE. Se enfatiza que la incertidumbre posterior para un ITE es generalmente mucho mayor que para un CATE, y confundirlos lleva a intervalos de credibilidad demasiado estrechos o incorrectos.
2. Implementación con Modelos No Paramétricos: A diferencia de trabajos anteriores que usaban modelos paramétricos conjugados simples, este artículo demuestra la implementación con Mezclas de Procesos de Dirichlet Truncados (DPM). Esto es crucial porque en modelos flexibles, la integración numérica (Monte Carlo) es necesaria para calcular los estimandos poblacionales, y es fácil cometer errores al mezclar simulaciones de contrafactuales con integración de parámetros.
3. Análisis de la "Bayesian G-Formula" (Keil et al., 2018): El autor realiza una crítica técnica detallada de una implementación popular de la fórmula g bayesiana. Demuestra que el método propuesto por Keil et al. confunde la simulación de la distribución predictiva posterior con la inferencia del PATE. El método de Keil et al. fija la distribución de covariables en la empírica (sin propagar incertidumbre) y simula un número de iteraciones igual al tamaño de la muestra ($n$), lo que resulta en una estimación de un efecto mixto (MATE) o un efecto condicional, no en un PATE poblacional verdadero.
4. Escalabilidad de Parámetros de Mundo Cruzado: El artículo ilustra cómo la complejidad de los supuestos de mundo cruzado crece polinomialmente con el número de tratamientos (ej. $K(K-1)/2$ parámetros de correlación para $K$ tratamientos). Esto hace que la inferencia a nivel de muestra sea a menudo intratable sin supuestos fuertes, reforzando la preferencia por estimandos poblacionales en muchos contextos.

4. Resultados y Ejemplos Ilustrativos

El artículo presenta cuatro ejemplos clave:

• Ejemplo 1 (Normal Bivariada Simple): Compara la inferencia de ITE/SATE vs. CATE/PATE. Muestra que, aunque los promedios posteriores pueden ser similares, la varianza posterior del ITE es mucho mayor que la del CATE. También compara el uso de la distribución empírica (MATE) frente al Bayesian Bootstrap (BB) para la distribución de covariables, demostrando que fijar la distribución empírica subestima la incertidumbre del PATE.
• Ejemplo 2 (DPM Flexible): Utiliza un modelo DPM truncado para capturar relaciones no lineales.
  • Para el CATE, se calcula directamente a partir de los parámetros del modelo (sin imputar $Y^M$).
  • Para el PATE, se requiere una simulación Monte Carlo interna: simular nuevas covariables de la distribución posterior de la población y luego calcular el CATE promedio.
  • Se demuestra que usar los contrafactuales imputados ($Y^M$) directamente para calcular un promedio poblacional es un error grave que produce un estimando de muestra (SATE) en lugar de uno poblacional.
• Ejemplo 3 (Estimandos que requieren supuestos de mundo cruzado): Presenta un caso donde un estimando poblacional (ej. proporción de pacientes que fallarían bajo ambos tratamientos) depende de la distribución conjunta de los resultados potenciales. Aquí, incluso a nivel poblacional, se requiere modelar la dependencia ($\rho$) entre $Y(1)$ y $Y(0)$, lo que introduce incertidumbre no identificable.
• Ejemplo 4 (Múltiples Tratamientos): Analiza el caso de $K > 2$ tratamientos. Muestra que la inferencia a nivel de muestra requiere modelar la dependencia conjunta de $K$ resultados, lo que implica $K(K-1)/2$ parámetros no identificables. Esto hace que la inferencia a nivel de muestra sea extremadamente sensible a los supuestos, mientras que la inferencia poblacional (marginal) puede ser más robusta si se evita la dependencia conjunta.

5. Significado y Conclusiones

El mensaje central del artículo es una llamada a la pensamiento de primeros principios en la inferencia causal bayesiana:

1. Definición del Estimando: Antes de modelar, se debe definir claramente si el interés científico es en las unidades observadas (muestra) o en una población superpuesta (población).
2. Lógica Bayesiana Estricta: Se debe seguir estrictamente la regla de Bayes para determinar qué marginal de la distribución posterior conjunta es el objetivo.
   • Si el objetivo es la muestra $\rightarrow$ Imputar contrafactuales en el bloque de parámetros.
   • Si el objetivo es la población $\rightarrow$ Integrar sobre la distribución de covariables y parámetros, sin imputar contrafactuales individuales para el cálculo del promedio.
3. Evitar Errores de Implementación: El artículo advierte contra la práctica común de tratar las simulaciones de Monte Carlo como imputaciones de datos faltantes cuando se busca un estimando poblacional, y viceversa.
4. Relevancia Práctica: La distinción no es solo teórica; tiene consecuencias prácticas sustanciales en la amplitud de los intervalos de credibilidad y la validez de las conclusiones políticas o clínicas derivadas de los estudios.

En resumen, Oganisian proporciona una guía técnica rigurosa para desentrañar la complejidad de la inferencia causal bayesiana, asegurando que los investigadores elijan el modelo y el procedimiento computacional adecuados para el estimando que realmente les interesa, evitando así errores sistemáticos que han permeado la literatura reciente.