Healthy scalar-tensor theories with third-order derivatives: Generalized disformal Horndeski and beyond

Resumo Técnico: Teorias Escalar-Tensor Saudáveis com Derivadas de Terceira Ordem

Enunciado do Problema
As teorias escalar-tensor estendem a Relatividade Geral ao introduzir graus de liberdade escalares, servindo como estruturas para a inflação cosmológica, energia escura e gravidade modificada. Embora a teoria de Horndeski represente a mais geral teoria escalar-tensor com equações de movimento de segunda ordem, os esforços para estender esse espaço para incluir derivadas de ordem superior frequentemente encontram a instabilidade de Ostrogradsky, que propaga graus de liberdade do tipo ghost (fantasmas).

Tentativas anteriores de construir teorias de ordem superior livres de ghosts basearam-se em três estratégias principais: (1) impor condições de degenerescência em Lagrangians covariantes (teorias DHOST); (2) relaxar a simetria de difeomorfismo do espaço-tempo para covariância espacial (gravidade espacialmente covariante); ou (3) aplicar redefinições de campo invertíveis, tais como transformações disformais, a teorias conhecidas. Recentemente, teorias de "Horndeski Disformal Generalizada" (GDH) foram construídas aplicando transformações disformais generalizadas (envolvendo derivadas de ordem superior do campo escalar) à teoria de Horndeski. No entanto, as teorias geradas via redefinições de campo constituem apenas um subconjunto de todas as possíveis teorias livres de ghosts. Permanece uma questão em aberto se existe uma classe mais ampla de teorias escalar-tensor saudáveis com derivadas de terceira ordem que não possam ser alcançadas a partir da teoria de Horndeski via tais transformações.

Metodologia
Os autores constroem sistematicamente teorias escalar-tensor livres de ghosts contendo até derivadas de terceira ordem do campo escalar sem depender de redefinições de campo invertíveis. A metodologia procede da seguinte forma:

1. Estrutura Espacialmente Covariante: Os autores trabalham dentro do gauge unitário (onde o campo escalar $\phi$ é identificado com a coordenada temporal $t=\phi$). A ação é expressa em termos de variáveis ADM: a função de lapse $N$, o vetor de shift $N^i$ e a métrica espacial $\gamma_{ij}$.
2. Blocos de Construção: O Lagrangiano é construído utilizando quantidades geométricas derivadas do campo escalar e da métrica. Estas incluem a curvatura extrínseca $K_{ij}$, a "velocidade" do lapse $V$, o vetor de aceleração $a_i$ e suas derivadas espaciais ($V_i, a_{ij}$). A ação inclui termos até ordem quadrática nestas variáveis para capturar derivadas de terceira ordem do campo escalar.
3. Análise Hamiltoniana: Para garantir que a teoria propague apenas um escalar e dois graus de liberdade tensoriais (eliminando o ghost de Ostrogradsky), os autores impõem dois conjuntos de condições derivadas de uma análise hamiltoniana rigorosa [12]:
   • Condições de Degenerescência: Garantem que a matriz cinética seja degenerada, levando a restrições primárias que removem o grau de liberdade extra.
   • Condições de Consistência: Garantem que restrições secundárias surjam da preservação temporal das restrições primárias, restringindo ainda mais a forma do Lagrangiano.

Principais Contribuições e Resultados
A aplicação sistemática das condições de degenerescência e consistência produz uma classe geral de teorias escalar-tensor livres de ghosts com as seguintes características:

• Forma Geral da Ação: O Lagrangiano resultante assume a forma:
  $$L = K_{ij}Q^{ij} + \frac{1}{2}K_{ij,kl}Q^{ij}Q^{kl} + H_{ij,kl}^1 Q^{ij}a^{kl} + L_0$$
  onde $Q_{ij} = K_{ij} + U_{ij}V + \frac{1}{2}V^k_{ij}V_k$.
  Aqui, $K_{ij,kl}$ e $H_{ij,kl}^1$ são tensores gerais construídos a partir de $\gamma_{ij}$ e $a_i$, parametrizados por 13 funções arbitrárias de $t, N,$ e $Z = a_i a^i$. Os tensores $U_{ij}$ e $V^k_{ij}$ são restritos a formas específicas caracterizadas por duas funções livres, $W_1(t, N, Z)$ e $W_2(t, N, Z)$.
• Extensão de Teorias Conhecidas: A ação derivada abrange as teorias de Horndeski Disformal Generalizada (GDH) e as teorias U-DHOST como subconjuntos específicos. Especificamente, ao escolher formas particulares para os tensores de coeficiente, pode-se reproduzir a família GDH.
• Propriedades de Transformação: Os autores analisam o comportamento destas teorias sob transformações Disformais Generalizadas (GD). Eles demonstram que a classe geral de teorias é estável sob estas transformações. Crucialmente, mostram que, ao escolher transformações GD apropriadas, é possível mover-se para um referencial onde $W_1 = W_2 = 0$, efetivamente definindo $U_{ij} = V^k_{ij} = 0$. Neste referencial específico, o termo $L_1$ (linear em $V$ e $V_i$) torna-se redundante via integração por partes.
• Independência de Horndeski: A análise revela que o espaço de teorias mais amplo inclui teorias que estão "disformalmente desconectadas" da teoria de Horndeski. Diferente de algumas teorias DHOST desconectadas de Horndeski que exibem patologias em soluções cosmológicas, estas teorias "além de GDH" são construídas para serem saudáveis por design, desde que satisfaçam as condições de degenerescência e consistência derivadas.

Significância
O artigo fornece um arcabouço sistemático para a construção de teorias escalar-tensor saudáveis com derivadas de terceira ordem que se estende além do escopo de teorias geradas unicamente por redefinições de campo (GDH) ou covariância espacial sozinha (U-DHOST).

Os autores afirmam que sua construção:

1. Expande Sistematicamente o Espaço de Teorias: Identifica uma classe de teorias livres de ghosts mais ampla do que a conhecida anteriormente, especificamente aquelas que podem não ser alcançáveis a partir da teoria de Horndeski via transformações disformais generalizadas.
2. Esclarece a Estrutura: Determina explicitamente as condições necessárias de degenerescência e consistência para teorias com derivadas de terceira ordem, parametrizando as interações permitidas através de 15 funções arbitrárias (13 para o setor cinético e 2 para a estrutura de $Q_{ij}$).
3. Estabelece Classes de Equivalência: Demonstra que, embora a classe geral seja ampla, as teorias de vácuo são equivalentes (modulo transformações GD) a um subconjunto onde as funções específicas $W_1$ e $W_2$ desaparecem. No entanto, os autores observam que esta equivalência não se aplica necessariamente quando acoplamentos de matéria são introduzidos, pois as transformações GD alteram o acoplamento com a matéria.

O artigo conclui observando que, embora as teorias de vácuo tenham sido construídas, trabalhos futuros são necessários para estudar perturbações cosmológicas (para verificar instabilidades de gradiente e restrições de velocidade de ondas gravitacionais), estender o arcabouço para incluir acoplamentos de matéria consistentes e investigar o mecanismo de blindagem de Vainshtein dentro desta classe mais ampla de teorias.