Healthy scalar-tensor theories with third-order derivatives: Generalized disformal Horndeski and beyond

技術要約：3階微分を含む健全なスカラー・テンソル理論

問題提起
スカラー・テンソル理論は、スカラー自由度を導入することで一般相対性理論を拡張するものであり、宇宙論的インフレーション、ダークエネルギー、および修正重力の枠組みとして機能する。ホルンディスキ（Horndeski）理論は、2階の運動方程式を持つ最も一般的なスカラー・テンソル理論であるが、高次の微分を含むように理論を拡張しようとする試みは、しばしばオストログラドスキー不安定性（Ostrogradsky instability）に直面し、ゴースト的な自由度が伝播してしまう。

ゴーストのない高次微分理論を構築するためのこれまでの試みは、主に3つの戦略に依拠してきた。(1) 共変ラグランジアンに対する退化条件の課与（DHOST理論）、(2) 時空の微分同相変換対称性を空間共変性に緩和すること（空間共変重力）、(3) 既知の理論に対する可逆な場再定義、例えばディスフォーマル変換（disformal transformations）の適用である。近年、「一般化ディスフォーマル・ホルンディスキ（GDH）」理論が、ホルンディスキ理論に対して（スカラー場の高次微分を含む）一般化ディスフォーマル変換を適用することで構築された。しかし、場再定義によって生成される理論は、可能なすべてのゴーストフリー理論の単なる一部分に過ぎない。高次の微分を含む、より広範なクラスの健全なスカラー・テンソル理論が存在するかどうかは、依然として未解決の問いである。

手法
著者らは、可逆な場再定義に依存することなく、スカラー場の高次（最大3階）の微分を含むゴーストフリーなスカル・テンソル理論を体系的に構築している。その手法は以下の通りである：

1. 空間共変フレームワーク: 著者らは、ユニタリーゲージ（スカラー場 $\phi$ が時間座標 $t=\phi$ と同一視されるゲージ）内で作業を行う。作用は、ラプスの関数 $N$、シフトベクトル $N^i$、および空間計量 $\gamma_{ij}$ を用いたADM変数を用いて記述される。
2. 構成要素: ラグランジアンは、スカラー場と計量から導かれる幾何学的量を用いて構成される。これらには、外積曲率 $K_{ij}$、「ラプスの速度」$V$、加速度ベクトル $a_i$、およびそれらの空間微分 ($V_i, a_{ij}$) が含まれる。作用は、スカラー場の3階微分を捉えるために、これらの変数に関する2次の項までを含む。
3. ハミルトニアン解析: 理論が（ゴーストなしに）1つのスカラー自由度と2つのテンソル自由度のみを伝播することを保証するため（オストログラドスキー・ゴーストを排除するため）、著者らは厳密なハミルトニアン解析[12]から導かれた2組の条件を課している：
   • 退化条件（Degeneracy Conditions）: これらは運動学的行列を退化させ、余剰の自由度を除去するための主要な拘束条件をもたらす。
   • 整合性条件（Consistency Conditions）: これらは、主要な拘束条件の時間保存から二次的な拘束条件が生じることを保証し、ラグランジアンの形式をさらに制限する。

主な貢献と結果
退化条件と整合性条件を体系的に適用することにより、以下の特性を持つゴーストフリーなスカラー・テンソル理論の一般的なクラスが得られる：

• 一般的な作用の形式: 得られるラグランジアンは以下の形式をとる：
  $$L = K_{ij}Q^{ij} + \frac{1}{2}K_{ij,kl}Q^{ij}Q^{kl} + H_{ij,kl}^1 Q^{ij}a^{kl} + L_0$$
  ここで、$Q_{ij} = K_{ij} + U_{ij}V + \frac{1}{2}V^k_{ij}V_k$ である。
  ここで、$K_{ij,kl}$ および $H_{ij,kl}^1$ は、$\gamma_{ij}$ と $a_i$ から構成される一般的なテンソルであり、$t, N,$ および $Z = a_i a^i$ の13個の任意の関数によってパラメータ化されている。テンソル $U_{ij}$ および $V^k_{ij}$ は、2つの自由関数 $W_1(t, N, Z)$ および $W_2(t, N, Z)$ によって特徴付けられる特定の形式に制約されている。
• 既知の理論の拡張: 導出された作用は、GDH理論およびU-DHOST理論を特定のサブセットとして包含している。具体的には、係数テンソルの特定の形式を選択することで、GDHファミリーを再現することができる。
• 変換特性: 著者らは、一般化ディスフォーマル（GD）変換の下でのこれらの理論の振る舞いを分析している。彼らは、得られた理論のクラスがこれらの変換に対して安定であることを示している。決定的な点として、適切なGD変換を選択することで、$W_1 = W_2 = 0$ となるフレームへ移行でき、実質的に $U_{ij} = V^k_{ij} = 0$ とできることを示している。この特定のフレームにおいて、$V$ および $V_i$ に関して線形な項 $L_1$ は、部分積分によって冗長となる。
• ホルンディスキからの独立性: この分析は、より広い理論空間が、ホルンディスキ理論から「ディスフォーマル的に断絶した（disformally disconnected）」理論を含むことを明らかにしている。ホルンディスキから断絶した一部のDHOST理論は宇宙論的解において病理を示すが、これらの「GDHを超える」理論は、導出された退化および整合性条件を満たす限り、設計段階で健全であるように構築されている。

意義
本論文は、場再定義（GDH）や空間共変性（U-DHOST）のみによって生成される理論の範囲を超えた、3階微分を持つ健全なスカラー・テンソル理論を構築するための体系的なフレームワークを提供する。

著者らの主張によれば、その構成は以下の通りである：

1. 理論空間の体系的な拡張: 既知の理論よりも広いクラスのゴーストフリー理論を特定した。具体的には、一般化ディスフォーマル変換を通じてホルンディスキ理論に到達できない可能性のある理論である。
2. 構造の明確化: 3階微分を持つ理論に必要な退化および整合性条件を明示的に決定し、許容される相互作用を15個の任意の関数（運動学セクターに関する13個と、$Q_{ij}$ の構造に関する2個）によってパラメータ化した。
3. 同値類の確立: 得られた一般的なクラスは広範であるが、真空理論は（GD変換のモジュロとして）$W_1$ と $W_2$ が消失する部分集合と同値であることを示した。しかし、GD変換は物質との結合を変化させるため、物質結合が導入された場合にはこの同値性が必ずしも保持されないことに著者らは注意を促している。

結論として、本論文は真空理論の構築については完了しているものの、宇宙論的摂動の研究（勾配不安定性や重力波速度の制約のチェックのため）、一貫した物質結合を含む枠組みへの拡張、およびこの広範なクラスの理論内におけるヴァインシュタイン・スクリーニング機構の調査について、今後の課題があるとしている。