Left Ehresmann monoids with a proper basis

1. Formulação do Problema e Motivação

Contexto:
O artigo aborda a teoria estrutural dos monoides de Ehresmann esquerdos. Estes são monoides unários que satisfazem identidades específicas, generalizando semigrupos inversos e semigrupos de restrição esquerda. Embora a teoria dos semigrupos inversos esteja bem estabelecida (notadamente através dos $P$-semigrupos de McAlister e produtos semidiretos de grupos e semilattices), a teoria para monoides de Ehresmann esquerdos ficou atrás.

A Lacuna:

• Semigrupos Inversos: Todo semigrupo inverso possui uma "cobertura" (uma pré-imagem que separa idempotentes) que é um produto semidireto de uma semilattice por um grupo. Além disso, os semigrupos inversos "próprios" (aqueles que podem ser embutidos nesses produtos) são caracterizados pelos $P$-semigrupos de McAlister.
• Monoides de Ehresmann Esquerdos: Sabia-se que qualquer monóide de Ehresmann esquerdo possui uma cobertura da forma $P_\ell(T, X)$, construída a partir de um monóide $T$ atuando sobre uma semilattice $X$ via mapas que preservam a ordem. No entanto, não havia um análogo ao conceito de semigrupo inverso "próprio" ou de um $P$-semigrupo para esta classe.
• O Desafio: Ao contrário dos semigrupos inversos ou de restrição, os monoides de Ehresmann esquerdos não satisfazem a "identidade abundante" ($xy^+ = (xy)^+x$). Essa falha impede que as técnicas padrão de decomposição usadas na teoria dos semigrupos inversos (que dependem da reorganização de idempotentes) funcionem diretamente. Consequentemente, os monoides de Ehresmann esquerdos livres são descritos usando árvores rotuladas em vez de grafos de Cayley, e sua estrutura é mais complexa.

Objetivo:
Os autores visam preencher essa lacuna teórica ao:

1. Definir uma noção de base própria para monoides de Ehresmann esquerdos.
2. Provar que monoides com uma base própria possuem propriedades estruturais análogas aos semigrupos inversos próprios.
3. Estabelecer um teorema estrutural que caracteriza esses monoides como subsemigrupos de $P_\ell(T, X)$, análogo aos $P$-semigrupos de McAlister.

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2. Metodologia e Conceitos Chave

Os autores desenvolvem um novo quadro teórico introduzindo estruturas algébricas específicas e aproveitando um resultado de "globalização" para ações parciais.

A. Monoides de Ehresmann Esquerdos $\ast$

Para lidar com a falta da identidade abundante, os autores introduzem uma segunda operação unária, denotada por $\ast$, ao lado da operação esquerda padrão $+$.

• Um monóide de Ehresmann esquerdo $\ast$ é um monóide de Ehresmann esquerdo equipado com uma operação unária $\ast$ tal que $E = \{a^+ : a \in M\} = \{a^\ast : a \in M\}$ é uma semilattice, e $a^\ast$ é a menor identidade à direita para $a$ em $E$.
• Eles provam que qualquer monóide de Ehresmann esquerdo com uniqueness de formas normais $T$ (uma decomposição $a = t_0 e_1 t_1 \dots e_n t_n$) admite naturalmente essa segunda operação, tornando-se um monóide de Ehresmann esquerdo $\ast$.

B. Base Propria e Subconjuntos Atômicos

A inovação central é a definição de uma base própria.

• $\ast$-subconjunto: Um subconjunto $H \subseteq M$ onde cada $h \in H$ possui uma identidade à direita mínima $h^\ast \in E$.
• Atômico: $H$ satisfaz propriedades específicas de fechamento (H1–H5) relacionadas a produtos e congruências.
• Próprio: $H$ é próprio se $h, k \in H$ com $h^\ast = k^\ast$ e $h \sigma k$ (onde $\sigma$ é a menor congruência que identifica projeções) implicam $h = k$.
• Base: $H$ é uma base se gera $M$ e cada elemento possui uma forma canônica $H$ única (análoga às formas normais $T$, mas definida via os elementos da base).

C. Globalização de Ações Parciais

Uma ferramenta técnica crucial é a extensão do teorema de globalização para ações parciais.

• Os autores provam que uma ação parcial forte e que preserva a ordem de um monóide $T$ sobre uma semilattice $Y$ pode ser globalizada para uma ação completa e que preserva a ordem sobre uma semilattice maior $X$.
• Este resultado (Teorema 4.17) é essencial para construir o monóide ambiente $P_\ell(T, X)$ a partir de um dado monóide de Ehresmann esquerdo.

D. Os Monoides $P_\ell(T, X)$ e $Q_\ell(T, X, Y)$

• $P_\ell(T, X)$: O análogo do "produto semidireto" para monoides de Ehresmann esquerdos. É construído a partir de um monóide $T$ e uma semilattice $X$ com uma ação que preserva a ordem. Possui uma base própria $H_P = \{te : t \in T, e \in X\}$.
• $Q_\ell(T, X, Y)$: Um subsemigrupo de $P_\ell(T, X)$ gerado por $H_Q = \{te \in H_P : e \in Y \text{ e } t \cdot e \in Y\}$, onde $Y$ é uma subsemilattice de $X$ satisfazendo condições específicas (A e B). Estes desempenham o papel dos $P$-semigrupos de McAlister.

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3. Contribuições e Resultados Chave

1. Introdução da Base Propria

O artigo define o conceito de base própria para monoides de Ehresmann esquerdos. Este conceito captura a noção abstrata de "própriedade" (análoga aos semigrupos inversos $E$-unitários) em um cenário onde a identidade abundante falha.

2. Estrutura de Monoides com uma Base Propria

Os autores provam que qualquer monóide de Ehresmann esquerdo com uma base própria é necessariamente $\ast$-esquerdo de Ehresmann. Isso permite-lhes utilizar a segunda operação unária $\ast$ para definir formas canônicas únicas e analisar a estrutura do monóide.

3. O Teorema Estrutural Principal (Teorema 8.1)

O resultado central do artigo estabelece uma caracterização estrutural:

Teorema: Um monóide biunário $Q$ é um monóide de Ehresmann esquerdo com uma base própria se e somente se $Q$ é isomorfo a um subsemigrupo de monóide biunário $Q_\ell(T, X, Y)$ de algum $P_\ell(T, X)$.

Este teorema espelha o resultado clássico para semigrupos inversos (onde os semigrupos inversos próprios são isomorfos a $P$-semigrupos).

• $P_\ell(T, X)$ desempenha o papel do produto semidireto $X \rtimes G$.
• $Q_\ell(T, X, Y)$ desempenha o papel do $P$-semigrupo.
• O isomorfismo é construído mapeando a base própria de $Q$ para o conjunto gerador de $Q_\ell$.

4. Existência de Bases Próprias

Os autores demonstram que:

• Os próprios monoides $P_\ell(T, X)$ possuem uma base própria ($H_P$).
• Os submonoides $Q_\ell(T, X, Y)$ possuem uma base própria ($H_Q$).
• Os monoides de Ehresmann esquerdos livres possuem uma base própria, implicando que são isomorfos a algum $Q_\ell(T, X, Y)$.

5. Resultado de Globalização

O artigo fornece uma prova rigorosa de que uma ação parcial forte e que preserva a ordem de um monóide sobre uma semilattice pode ser globalizada para uma ação completa sobre uma semilattice. Este resultado é de interesse independente na teoria dos semigrupos e na teoria da ordem.

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4. Significado e Impacto

• Mudança de Paradigma: O artigo adapta com sucesso a teoria estrutural dos semigrupos inversos à classe mais complexa dos monoides de Ehresmann esquerdos, apesar da ausência da identidade abundante. Ele move o campo da dependência de árvores rotuladas (usadas para objetos livres) para uma teoria de decomposição baseada em semilattices e ações de monoides.
• Unificação: Unifica o estudo dos monoides de Ehresmann esquerdos livres, monoides de restrição e monoides de Ehresmann esquerdos gerais sob um único quadro estrutural ($Q_\ell(T, X, Y)$).
• Novas Ferramentas: A introdução da operação $\ast$ e do conceito de base própria fornece novas ferramentas algébricas para analisar semigrupos não regulares.
• Direções Futuras: Os autores delineiam explicitamente questões em aberto relacionadas à extensão desta teoria para semigrupos (sem identidade) e à relação entre sua abordagem de "base própria" e a abordagem categórica de semigrupos de Ehresmann próprios desenvolvida por Kudryavtseva e Laan.

Em resumo, este artigo fornece o teorema estrutural fundamental do tipo "McAlister" para monoides de Ehresmann esquerdos, estabelecendo que aqueles com uma base própria são estruturalmente equivalentes a subsemigrupos específicos de produtos semidiretos que preservam a ordem, completando assim um capítulo importante na teoria dos semigrupos com uma semilattice de idempotentes.