Modelling multivariate ordinal time series using pairwise likelihood

Título: Modelagem de Séries Temporais Ordinais Multivariadas usando Verossimilhança Pares

Autores: Anna Nalpantidi e Dimitris Karlis (Departamento de Estatística, Universidade de Economia e Negócios de Atenas, Grécia).

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1. O Problema

O artigo aborda a dificuldade de especificar a distribuição conjunta de múltiplas séries temporais ordinais. Existem dois desafios principais:

1. Complexidade da Distribuição Multivariada: Não é trivial criar distribuições multivariadas flexíveis para variáveis ordinais que sejam computacionalmente viáveis.
2. Dependência Estrutural: Em séries temporais, é necessário modelar simultaneamente:
   • A autocorrelação (dependência temporal) dentro de cada série.
   • A dependência cruzada (cross-correlation) entre as diferentes séries.
   • A correlação cruzada em diferentes defasagens (lags).

Abordagens tradicionais que utilizam uma cópula multivariada completa tornam-se computacionalmente proibitivas à medida que o número de séries ($K$) aumenta, pois o cálculo das probabilidades conjuntas envolve um número exponencial de termos ($2^K$).

2. Metodologia Proposta

Os autores propõem uma abordagem baseada em Verossimilhança Pares (Pairwise Likelihood) combinada com Cópiulas, seguindo o quadro de trabalho de Fieuws e Verbeke (2006).

Estrutura do Modelo:

• Modelos Marginais: Cada série temporal ordinal $Z_{kt}$ é modelada individualmente usando um modelo de regressão logística ordinal autoregressiva (ORDINAL Autoregressive Logit Model). Para capturar a dependência cruzada, os modelos marginais incluem valores defasados de todas as séries do sistema, não apenas da série em questão.
• Dependência (Cópulas): A dependência contemporânea (lag-0) entre as séries é capturada por cópiulas. Para um par de variáveis $(Z_{rt}, Z_{st})$, a função de distribuição conjunta é definida através de uma cópula bivariada $C(\cdot, \cdot, \phi)$.
• Aproximação da Verossimilhança: Em vez de maximizar a verossimilhança conjunta completa (que exigiria uma cópula multivariada de alta dimensão), o método maximiza a verossimilhança composta condicional baseada em pares. A função objetivo é a soma dos logaritmos das probabilidades conjuntas de todos os pares possíveis de séries.

Procedimento de Estimação (Duas Etapas):

Para evitar problemas de otimização em alta dimensão, os autores propõem um procedimento de duas etapas:

1. Estimação Individual: Maximização independente da verossimilhança de cada um dos $K(K-1)/2$ modelos bivariados. Isso gera estimadores $\tilde{\theta}_{rs}$ para cada par.
2. Síntese dos Estimadores: Combinação dos estimadores individuais para obter estimativas únicas para o modelo global.
   • Os autores propõem o uso de uma média ponderada (Weighted Mean) em vez de uma média simples.
   • Os pesos são derivados da matriz Hessiana negativa (inverso da variância assintótica) de cada modelo bivariados. A fórmula de síntese minimiza um critério de mínimos quadrados ponderados, resultando em estimadores mais eficientes.

Inferência e Erros Padrão:

Os erros padrão são calculados utilizando a distribuição assintótica dos estimadores de verossimilhança composta (fórmula de "sandwich" $J^{-1}KJ^{-1}$), onde $J$ é a matriz de informação esperada e $K$ é a matriz de variância dos escores.

3. Contribuições Chave

• Viabilidade Computacional: Substitui a complexa otimização de cópiulas multivariadas de alta dimensão pela otimização de modelos bivariados, reduzindo drasticamente o custo computacional.
• Flexibilidade: Permite o uso de diferentes famílias de cópiulas para diferentes pares de séries, adaptando-se às estruturas de dependência específicas de cada par.
• Método de Síntese Ponderada: Propõe e valida empiricamente o uso de uma média ponderada baseada na Hessiana para combinar estimadores, demonstrando superioridade sobre a média simples em termos de precisão.
• Abordagem de Previsão: Desenvolve estratégias para previsão (forecasting) em um contexto onde a distribuição conjunta completa não está disponível, propondo métodos para combinar previsões de múltiplos modelos bivariados (média de probabilidades vs. regra da maioria dos estados).

4. Resultados

Estudo de Simulação:

• Foram simulados dados trivariados com tamanhos de amostra $T = 100, 500, 1000$.
• Viabilidade: Os estimadores mostraram-se não viesados (as medianas das caixas de bigode estavam próximas dos valores verdadeiros).
• Consistência: A variância diminuiu conforme o tamanho da amostra aumentou.
• Comparação de Métodos: A média ponderada superou consistentemente a média simples, especialmente na estimação do parâmetro de dependência da cópula ($\phi$), resultando em Menor Erro Quadrático Médio (MSE).

Aplicação em Dados Reais:

• Dados: Taxas de desemprego trimestrais (1998-2023) de seis países da UE (Portugal, Eslováquia, Finlândia, Grécia, Espanha, Itália).
• Pré-processamento: As taxas contínuas foram discretizadas em 4 estados ordinais baseados em quantis.
• Modelagem: Utilizou-se a cópula de Frank para capturar dependências positivas e negativas.
• Resultados:
  • O modelo capturou bem as autocorrelações e correlações cruzadas.
  • Previsão: Para os próximos 12 trimestres (2021-2023), dois métodos de previsão foram testados. O modelo performou bem para Portugal, Eslováquia e Finlândia. Para Grécia, Espanha e Itália, os resultados foram menos precisos, possivelmente devido à natureza dos dados que apresentam longas sequências de estados repetidos (sugerindo que modelos específicos como DAR poderiam ser mais adequados para essas séries específicas).

5. Significado e Conclusões

O artigo oferece uma solução prática e robusta para a modelagem de séries temporais ordinais multivariadas, um problema frequentemente negligenciado devido à complexidade computacional.

• Inovação: A abordagem de "dividir para conquistar" (modelar pares e sintetizar) torna viável a análise de sistemas com muitas séries ordinais.
• Aplicabilidade: O método é flexível o suficiente para acomodar diferentes modelos marginais e diferentes estruturas de cópula, permitindo que pesquisadores adaptem o modelo às dinâmicas específicas de seus dados.
• Recomendação: Os autores recomendam o uso da síntese por média ponderada para obter estimativas mais precisas e sugerem que a metodologia pode ser estendida para incluir covariáveis, diferentes famílias de cópulas por par e ordens de defasagem mais altas.

Em suma, o trabalho preenche uma lacuna importante na literatura estatística, fornecendo ferramentas para analisar interdependências complexas em dados ordinais temporais, com aplicações diretas em economia, saúde e ciências ambientais.