Modelling multivariate ordinal time series using pairwise likelihood

Resumen Técnico: Modelado de Series Temporales Ordinales Multivariantes

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda el desafío de especificar la distribución conjunta de múltiples series temporales donde las observaciones son variables ordinales (categorías con un orden natural, ej. niveles de desempleo: bajo, medio, alto).

Los principales obstáculos identificados son:

• Complejidad de la distribución conjunta: Es difícil construir distribuciones multivariantes para variables ordinales que sean computacionalmente manejables.
• Dependencias múltiples: Un modelo adecuado debe capturar no solo la autocorrelación dentro de cada serie, sino también la correlación cruzada entre diferentes series y la dependencia en diferentes rezagos.
• Limitaciones de los enfoques existentes: Los métodos tradicionales que utilizan copulas multivariadas completas (de dimensión $K$) requieren la evaluación de probabilidades conjuntas con $2^K$ términos, lo que se vuelve intratable computacionalmente a medida que aumenta el número de series ($K$).

2. Metodología Propuesta

Los autores proponen un marco de trabajo que combina modelos marginales ordinales con copulas, pero evita la especificación de una copula multivariada completa mediante el uso de la verosimilitud por pares (pairwise likelihood).

A. Estructura del Modelo:

1. Modelos Marginales: Se asume que cada serie temporal $Z_{kt}$ sigue un modelo de regresión logística ordinal autoregresivo de orden $p$. Este modelo incluye rezagos de todas las series del sistema (no solo de la serie propia) para capturar la autocorrelación y la correlación cruzada en los rezagos.
   • La probabilidad condicional se modela mediante una función logística acumulada.
2. Dependencia Contemporánea (Lag 0): La dependencia simultánea entre las series se captura mediante una copula bivariada para cada par de series $(Z_{rt}, Z_{st})$.
3. Aproximación por Verosimilitud Compuesta: En lugar de maximizar la verosimilitud conjunta completa, se utiliza la verosimilitud condicional por pares. Esto implica maximizar la suma de las verosimilitudes logarítmicas de todos los pares posibles de series ($K(K-1)/2$ modelos bivariados).
   • La función objetivo es: $\ell_{prw}(\theta; z) = \sum_{t} \sum_{r<s} \log f_{Z_{rt}, Z_{st}}(z_{rt}, z_{st} | \mathcal{F}_{t-1})$.
   • Esto permite seleccionar familias de copulas diferentes para cada par según sus características de dependencia específicas.

B. Procedimiento de Estimación (Dos Etapas):
Dado que maximizar la verosimilitud por pares conjunta es difícil, se propone un algoritmo de dos pasos basado en Fieuws y Verbeke (2006):

1. Estimación Individual: Se maximiza la verosimilitud logarítmica de cada uno de los $K(K-1)/2$ modelos bivariados de forma independiente, obteniendo estimadores $\tilde{\theta}_{rs}$.
2. Síntesis de Estimadores: Se combinan los estimadores individuales para obtener un único conjunto de parámetros para el modelo global.
   • Se propone un promedio ponderado en lugar de un promedio simple.
   • Los pesos se derivan de la matriz Hessiana (inversa de la varianza asintótica) de cada modelo bivariados, siguiendo el método de Hui et al. (2018). Esto otorga mayor peso a las estimaciones más precisas.
   • La fórmula resultante es un mínimo cuadrado ponderado: $\hat{\theta}_{wm} = (\sum H_{rs})^{-1} (\sum H_{rs} \tilde{\theta}_{rs})$.

C. Inferencia y Errores Estándar:
Se utilizan las propiedades asintóticas de los estimadores de verosimilitud compuesta para calcular los errores estándar, construyendo la matriz de información de Godambe ($J^{-1}KJ^{-1}$), donde $J$ es la matriz de información esperada y $K$ es la matriz de varianza de las puntuaciones.

D. Estrategia de Pronóstico:
Dado que no existe una distribución conjunta única, el pronóstico se realiza combinando las predicciones de los modelos bivariados:

• Método A: Realizar simulaciones (Monte Carlo) para cada par, obtener el estado más frecuente (moda) de cada simulación y luego aplicar una regla de mayoría sobre los resultados de todos los pares.
• Método B: Promediar las probabilidades condicionales de estado obtenidas de cada modelo bivariado y seleccionar el estado con la probabilidad agregada más alta (o la mediana/mode de la distribución resultante).

3. Contribuciones Clave

• Escalabilidad Computacional: La metodología evita la "maldición de la dimensionalidad" al descomponer el problema multivariante en problemas bivariados manejables, eliminando la necesidad de calcular probabilidades conjuntas de alta dimensión.
• Flexibilidad en la Dependencia: Permite utilizar diferentes familias de copulas para diferentes pares de series, adaptándose a estructuras de dependencia heterogéneas (positiva, negativa, cola pesada, etc.).
• Procedimiento de Estimación Robusto: La propuesta de un promedio ponderado basado en la matriz Hessiana mejora la eficiencia de los estimadores en comparación con promedios simples.
• Aplicabilidad General: El marco es compatible con cualquier modelo marginal para series ordinales (no solo logit) y cualquier familia de copulas.

4. Resultados

A. Estudio de Simulación:

• Se simularon 100 muestras de una trivariada con copula Gumbel ($\phi=2$) y tamaños de muestra $T = 100, 500, 1000$.
• Sesgo y Consistencia: Los estimadores (tanto media simple como ponderada) mostraron ser insesgados (las medianas de las cajas estaban cerca del valor real) y consistentes (la varianza disminuyó al aumentar $T$).
• Comparación de Métodos: El promedio ponderado superó ligeramente al promedio simple, especialmente en la estimación del parámetro de dependencia de la copula ($\phi$), donde mostró menor varianza y menor Error Cuadrático Medio (MSE).

B. Aplicación Empírica (Desempleo en la UE):

• Datos: Tasas de desempleo trimestrales (1998-2023) de 6 países (Portugal, Eslovaquia, Finlandia, Grecia, España, Italia).
• Preprocesamiento: Las tasas continuas se discretizaron en 4 estados ordinales basados en cuantiles para manejar la precisión espuria y mejorar la comparabilidad.
• Modelado: Se utilizó una copula de Frank (capaz de manejar dependencias positivas y negativas) y un modelo logit ordinal de orden 1.
• Hallazgos:
  • Se detectaron fuertes autocorrelaciones y correlaciones cruzadas (ej. España-Grecia, España-Italia).
  • Los modelos marginales capturaron bien la dinámica interna y cruzada.
  • Pronóstico: Se pronosticaron los estados para 2021-2023. Los métodos A y B produjeron resultados similares.
    • Alto rendimiento para Portugal y Eslovaquia (predicción correcta con alta probabilidad).
    • Resultados mixtos para Grecia, España e Italia, donde los datos mostraron "ranchos" largos de estados estables (un comportamiento que modelos más específicos como DAR podrían capturar mejor).
    • Se observó que para Italia, las probabilidades de estados 2 y 3 se volvieron muy cercanas, sugiriendo que la moda podría no ser el mejor predictor en casos de incertidumbre alta.

5. Significado e Implicaciones

El trabajo ofrece una solución práctica y computacionalmente eficiente para un problema estadístico complejo: el modelado conjunto de series temporales ordinales.

• Para la investigación: Proporciona un marco teórico sólido que justifica el uso de verosimilitudes compuestas en series temporales ordinales, validando la aproximación mediante simulaciones.
• Para la práctica: Permite a economistas y analistas modelar interdependencias entre indicadores económicos ordinales (como niveles de inflación, calificaciones crediticias o estados de desempleo) sin caer en la complejidad computacional prohibitiva de los modelos multivariados completos.
• Futuro: El artículo sugiere extensiones naturales, como la inclusión de covariables, el uso de diferentes modelos marginales para cada serie y la selección automática de familias de copulas para cada par, aunque esto último introduce desafíos de selección de modelos.

En conclusión, la metodología propuesta equilibra la flexibilidad del modelado de dependencias complejas con la viabilidad computacional, siendo una herramienta valiosa para el análisis de datos económicos y sociales multivariados de naturaleza ordinal.