Arbitrary order stationarity preserving stabilized finite elements for multidimensional nonlinear hyperbolic problems. Application to the Euler equations with gravity

1. Problema e Contexto

O artigo aborda a construção de esquemas de discretização de alta ordem para leis de balanço hiperbólicas não lineares em múltiplas dimensões, com foco específico nas Equações de Euler para um gás perfeito sob a influência da gravidade.

O principal desafio identificado é a preservação de estados estacionários (equilíbrios) no nível discreto. Em muitas aplicações físicas (como atmosferas planetárias ou escoamentos de baixa velocidade), o fluxo está muito próximo de um equilíbrio hidrostático ou isentrópico. Métodos numéricos convencionais frequentemente introduzem erros espúrios que "quebram" esse equilíbrio, gerando ondas não físicas ou dissipando estruturas importantes (como vórtices) devido à dissipação numérica inadequada.

A questão central é: como projetar métodos de elementos finitos estabilizados de alta ordem que preservem não apenas equilíbrios triviais, mas uma família rica de estados estacionários genuinamente multidimensionais (incluindo vórtices isentrópicos e equilíbrios hidrostáticos complexos) com uma precisão superior à ordem nominal do esquema?

2. Metodologia Proposta

Os autores propõem uma extensão de alta ordem do conceito de Quadratura de Fluxo Global (Global Flux Quadrature - GFQ) para sistemas não lineares, integrando-o ao método de Elementos Finitos Estabilizados (SUPG - Streamline Upwind/Petrov-Galerkin).

2.1. Definição de Preservação de Estacionariedade (SP)

O artigo formaliza a definição de um esquema "preservador de estacionariedade" (SP). Um método é SP se, para qualquer estado de equilíbrio contínuo $\mathbf{W}$, existir uma aproximação discreta $\mathbf{W}_h$ tal que o resíduo numérico seja zero.

• Condição de Resíduos Duais: Os autores estabelecem uma condição necessária: deve existir uma representação local do resíduo (divergência menos fonte) em pontos duais (ou subcélulas) tal que, se esses resíduos locais forem zero, o resíduo global do esquema também seja zero. Isso exige que o número de incógnitas seja maior ou igual ao número de restrições impostas pelo equilíbrio.

2.2. Quadratura de Fluxo Global (GFQ) e Pré-processamento

A inovação central é o tratamento dos fluxos e da fonte através de um pré-processamento baseado em potenciais:

1. Reformulação do Divergente: Em vez de calcular $\nabla \cdot \mathbf{F}$ diretamente, o método utiliza a identidade $\nabla \cdot \mathbf{F} = \partial_{x_1}\partial_{x_2}(\mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2)$, onde $\mathbf{F}_1$ e $\mathbf{F}_2$ são potenciais obtidos pela integração dos fluxos nas direções $x_2$ e $x_1$, respectivamente.
2. Integração Local: Os potenciais são calculados integrando os fluxos polinomiais ao longo das linhas da malha cartesiana. Isso mapeia os fluxos contínuos para um espaço local com estrutura semelhante aos elementos Raviart-Thomas ($RT_{K-1}$), garantindo a conformidade do divergente.
3. Tratamento da Fonte: A fonte gravitacional é integrada de forma análoga, permitindo o cancelamento exato com o gradiente de pressão em estados hidrostáticos.

2.3. Estabilização e Esquema SUPG-GFQ

O método combina a formulação GFQ com a estabilização SUPG clássica, mas aplicada aos potenciais integrados:

• O termo de estabilização (dissipação) é construído para ser compatível com a condição de estacionariedade. Diferente do Laplaciano clássico (que destrói equilíbrios), a dissipação baseada em $\nabla(\nabla \cdot \mathbf{v})$ (estrutura grad-div) é preservada.
• Integração Temporal: Utiliza-se o método Defect Correction (DeC) para obter uma discretização temporal explícita de alta ordem, evitando a inversão cara da matriz de massa não diagonal introduzida pela estabilização.

2.4. Correção para Equilíbrios Hidrostáticos (Well-Balanced)

Para as equações de Euler com gravidade, os autores propõem uma modificação específica na discretização da fonte (baseada em [36]) para preservar exatamente equilíbrios hidrostáticos isotérmicos. Isso envolve definir o gradiente do potencial gravitacional de forma consistente com a estrutura do núcleo estacionário do esquema.

3. Contribuições Principais

1. Generalização para Não-Linearidade: Estende a teoria de preservação de estacionariedade (anteriormente restrita a acústica linear ou esquemas de volumes finitos) para sistemas de leis de balanço não lineares de alta ordem usando elementos finitos contínuos.
2. Conexão com Elementos Raviart-Thomas: Demonstra que o pré-processamento de fluxos da GFQ projeta implicitamente os fluxos em um espaço de elementos finitos com propriedades de divergente conformal, permitindo o uso de espaços nodais colocalizados (Lagrange) sem violar a conservação local.
3. Superconvergência: Prova teoricamente que, em estados estacionários, o método atinge taxas de convergência superconvergentes (ordem $K+2$ para $K \ge 2$), superando a ordem nominal $K+1$.
4. Compatibilidade com Baixo Número de Mach: O esquema herda as propriedades de baixa dissipação de esquemas centrados no limite de baixo número de Mach, evitando a degradação de precisão comum em métodos upwind convencionais.
5. Preservação de Equilíbrio Hidrostático: Implementação de uma técnica "Well-Balanced" que mantém equilíbrios hidrostáticos isotérmicos com precisão de máquina.

4. Resultados Numéricos

Os autores realizaram uma extensa bateria de testes numéricos comparando o SUPG-GFQ com o SUPG padrão e com esquemas de Volumes Finitos (HLLC):

• Vórtice Isentrópico em Movimento: O método GFQ mostra erros menores (fator de 1.3 a 2) mesmo para estados não estacionários, mantendo a ordem de convergência esperada.
• Vórtice Estacionário: O SUPG padrão degrada a estrutura do vórtice e gera ruídos espúrios. O SUPG-GFQ preserva a estrutura exata, mesmo em malhas grosseiras, e atinge superconvergência.
• Comportamento em Baixo Mach: Para números de Mach $10^{-2}$ a $10^{-6}$, o SUPG-GFQ mantém a precisão e a estrutura do fluxo, enquanto o HLLC e o SUPG padrão sofrem de alta difusão numérica ou perda de estrutura.
• Instabilidade de Kelvin-Helmholtz: O método resolve estruturas de vórtices com alta precisão e quase nenhum "imprinting" de malha (artefatos visuais alinhados à grade), superando significativamente os métodos de referência.
• Equilíbrio Hidrostático e Perturbações: O esquema com correção "Well-Balanced" preserva o equilíbrio hidrostático isotérmico com erro de precisão de máquina. Ao introduzir pequenas perturbações de pressão, o método captura as ondas acústicas sem gerar ruídos espúrios de fundo, ao contrário do SUPG padrão.
• Instabilidade de Rayleigh-Taylor: Em configurações com gravidade radial, o método mantém a simetria radial e evita oscilações espúrias, enquanto o método padrão sofre de forte imprinting de malha.
• Interação Choque-Vórtice: O método demonstra robustez em escoamentos com choques (Mach 1.1), capturando a interação com alta fidelidade e reduzindo oscilações em ordens mais altas.

5. Significado e Conclusão

O trabalho estabelece um novo marco para a simulação de escoamentos compressíveis com gravidade e em baixos números de Mach. A principal conclusão é que a Quadratura de Fluxo Global não é apenas uma técnica de integração, mas uma ferramenta de pré-processamento que altera a estrutura algébrica do método de elementos finitos, permitindo:

1. A preservação exata de uma vasta gama de equilíbrios físicos complexos.
2. A obtenção de superconvergência em estados estacionários.
3. A eliminação de artefatos de malha (imprinting) que contaminam simulações de longo prazo e de baixa velocidade.

O método proposto oferece uma alternativa superior aos esquemas de volumes finitos tradicionais e aos elementos finitos estabilizados convencionais para problemas onde a fidelidade termodinâmica e a preservação de estruturas de equilíbrio são críticas, como em meteorologia, astrofísica e aerodinâmica de baixa velocidade. O artigo também aponta para trabalhos futuros em malhas não estruturadas e em 3D.