Arithmetic exceptionality of Lattès maps

Título: Excepcionalidade Aritmética de Mapas de Lattès

Autores: Chatchawan Panraks, Detchat Samart e Songpon Sriwongs.

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1. O Problema e o Contexto

O artigo investiga a excepcionalidade aritmética de funções racionais, um tópico na interseção entre teoria dos números e geometria aritmética.

• Definição: Uma função racional $r(x) \in \mathbb{Q}(x)$ é dita ariticamente excepcional se induz uma permutação na linha projetiva $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_p)$ para infinitos primos $p$.
• Objeto de Estudo: O foco recai sobre os Mapas de Lattès ($L_k$), que são funções racionais derivadas de curvas elípticas $E/\mathbb{Q}$. Especificamente, $L_k$ é a única função racional que comuta com a projeção da coordenada $x$ e o endomorfismo de multiplicação por $k$ na curva elíptica ($[k]$).
• A Conjectura de Odabaş: Baseado em evidências computacionais, Odabaş conjecturou que, para qualquer inteiro positivo $k$, o $k$-ésimo mapa de Lattès associado a uma curva elíptica $E/\mathbb{Q}$ é ariticamente excepcional se e somente se $E$ não possui pontos de $k$-torsão cuja coordenada $x$ seja racional.

O objetivo do artigo é provar ou refutar essa conjectura, com foco principal em curvas elípticas com Multiplicação Complexa (CM).

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2. Metodologia

Os autores utilizam uma combinação de ferramentas profundas da teoria algébrica de números e geometria aritmética:

1. Critério de Permutação (Proposição 3): Baseiam-se em resultados de Guralnick, Müller e Saxl para estabelecer que $L_k$ permuta $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_p)$ se e somente se $\gcd((p+1)^2 - a_p^2, k) = 1$, onde $a_p$ é o traço de Frobenius.
2. Teoria de Curvas CM: Utilizam a teoria de Deuring sobre os traços de Frobenius de curvas com CM. Para primos de boa redução, $a_p$ depende de como o primo $p$ se comporta no corpo quadrático imaginário $K$ associado à CM (inerte, ramificado ou dividido).
3. Leis de Reciprocidade: Empregam extensivamente a Reciprocidade Cúbica e a Reciprocidade Sextica (Eisenstein) no anel de inteiros de corpos quadráticos imaginários (especialmente $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ e $\mathbb{Q}(\sqrt{-11})$) para controlar os valores de normas de ideais e garantir que certos fatores não dividam a ordem da curva reduzida.
4. Teorema da Densidade de Chebotarev: Usado para provar a existência de infinitos primos que satisfazem sistemas específicos de congruências, garantindo que a condição de exceção aritmética seja satisfeita para infinitos primos.
5. Análise de Polinômios de Divisão: Estudam a fatoração dos polinômios de divisão $\psi_k(x)$ para determinar a existência de pontos de torsão com coordenadas racionais.

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3. Principais Contribuições e Resultados

O trabalho apresenta uma análise completa da conjectura de Odabaş para curvas CM, dividida em dois grandes resultados:

A. Validação da Conjectura (Teorema 2)

Os autores provam que a conjectura de Odabaş é verdadeira para qualquer curva elíptica $E/\mathbb{Q}$ com Multiplicação Complexa por um anel de inteiros de um corpo quadrático imaginário de número de classe 1, exceto para o corpo $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-11})$.

• Abordagem por Discriminantes: A prova é feita caso a caso para os discriminantes $D \in \{-3, -4, -7, -8, -11, -12, -16, -19, -27, -28, -43, -67, -163\}$.
• Estratégia: Para cada caso, eles constroem infinitos primos $p$ (usando o Teorema de Dirichlet ou Chebotarev) tais que o traço de Frobenius $a_p$ satisfaça $\gcd((p+1)^2 - a_p^2, k) = 1$, desde que não existam pontos de $k$-torsão com coordenada $x$ racional.

B. Refutação e Obstrução para $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-11})$

O caso $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-11})$ é tratado como uma exceção crítica:

• Proposição 11: Se $6 \mid k$ (k é divisível por 6), o mapa de Lattès $L_k$ não é ariticamente excepcional, independentemente da existência de pontos de torsão racionais.
  • Motivo: O primo 3 se divide em $K$. Para primos de boa redução que se dividem em $K$, o traço de Frobenius força um fator de 3 em $(p+1)^2 - a_p^2$. Para primos inertes, há um fator de 2. Assim, se $6 \mid k$, o máximo divisor comum nunca é 1.
• Proposição 12: Se $6 \nmid k$, a conjectura de Odabaş é válida para este corpo.
• Contraexemplos Explícitos: Os autores fornecem curvas explícitas (Proposição 14) que não possuem pontos de torsão com coordenada $x$ racional, mas cujos mapas de Lattès falham em ser excepcionais quando $6 \mid k$.

C. Resultados para Curvas sem CM

• Proposição 16: A conjectura é provada para $k=2$ para qualquer curva elíptica (CM ou não), ligando a exceção aritmética diretamente à existência de pontos de 2-torsão racional.
• Contraexemplos Não-CM (Proposição 18): Os autores descobrem famílias de curvas elípticas sem CM que também violam a conjectura original quando $6 \mid k$. Eles mostram que, para certas curvas, a condição de permutação falha devido a obstruções locais (fatores 2 e 3) que aparecem para todos os primos de boa redução, mesmo na ausência de pontos de torsão racional.

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4. Significado e Reformulação da Conjectura

O trabalho tem implicações profundas para a compreensão da dinâmica aritmética de mapas de Lattès:

1. Refinamento da Conjectura: Devido às obstruções encontradas quando $6 \mid k$ (especialmente relacionadas à divisão de 2 e 3 nos corpos de CM e em curvas sem CM específicas), os autores propõem uma nova conjectura (Conjectura 20):

   "Para qualquer inteiro positivo $k$ tal que $6 \nmid k$, o $k$-ésimo mapa de Lattès é ariticamente excepcional se e somente se $E$ não possui pontos de $k$-torsão com coordenada $x$ racional."

2. Perspectiva de Representações de Galois: O artigo encerra conectando o problema à teoria das representações de Galois. A condição de exceção aritmética é reescrita em termos da não-vaziedade de um conjunto específico $C_m$ no grupo de Galois associado aos pontos de $m$-torsão ($m = \text{rad}(k)$).

   • Para curvas sem CM e $k$ com fatores primos suficientemente grandes, o Teorema do Imagem Aberta de Serre garante que o conjunto $C_m$ não é vazio, sugerindo que a nova conjectura é verdadeira para a maioria dos casos não-CM.

3. Contribuição Técnica: O artigo fornece uma análise detalhada e construtiva (com exemplos computacionais e tabelas de permutação) que esclarece as nuances finas entre a estrutura de torsão da curva e o comportamento de permutação dos mapas induzidos sobre corpos finitos.

Em resumo, o paper resolve a conjectura de Odabaş para a vasta maioria das curvas CM, identifica uma obstrução fundamental ligada ao número 6 (especialmente no caso $\mathbb{Q}(\sqrt{-11})$), e propõe uma versão corrigida e mais robusta da conjectura para o caso geral.