Predictor-Based Output-Feedback Control of Linear Systems with Time-Varying Input and Measurement Delays via Neural-Approximated Prediction Horizons

Resumo Técnico: Controle por Realimentação de Saída Baseado em Preditor para Sistemas Lineares com Atrasos Variáveis no Tempo

Título Original: Predictor-Based Output-Feedback Control of Linear Systems with Time-Varying Input and Measurement Delays via Neural-Approximated Prediction Horizons
Publicação: Systems & Control Letters (2026)

1. Problema Investigado

O artigo aborda o desafio de controlar sistemas lineares que sofrem de atrasos variáveis no tempo tanto na entrada (atuadores) quanto na medição (sensores).

• Contexto: Métodos de realimentação preditiva (predictor feedback) são amplamente utilizados para compensar atrasos, permitindo recuperar o comportamento nominal do sistema. No entanto, para atrasos variáveis, a implementação exata exige o cálculo do horizonte de predição, que é definido pela função inversa do atraso ($\psi(t) = \phi^{-1}(t) - t$).
• Desafio Central: A função inversa do atraso raramente possui uma forma fechada analítica. Portanto, ela deve ser aproximada. A literatura existente frequentemente assume que essa inversão pode ser feita exatamente ou não trata rigorosamente o impacto de erros de aproximação na estabilidade global do sistema, especialmente em cenários de realimentação de saída (onde o estado não é medido diretamente).
• Objetivo: Desenvolver um esquema de controle de saída robusto que lide com a impossibilidade de calcular a inversa exata do atraso, utilizando aproximações numéricas e baseadas em aprendizado de máquina, garantindo a estabilidade exponencial global.

2. Metodologia

Os autores propõem uma arquitetura de controle em três etapas e duas abordagens distintas para aproximar o horizonte de predição:

A. Estrutura de Controle (Realimentação de Saída)
O controlador proposto combina:

1. Observador: Reconstrói o estado atrasado $Z(\phi_2(t))$ a partir das medições $Y(t)$.
2. Reconstrução de Estado: Propaga a estimativa do estado atrasado para o tempo atual $\hat{Z}(t)$ usando a dinâmica da planta.
3. Preditor: Propaga a estimativa atual para o futuro $\hat{P}(t) = \hat{Z}(t + \psi(t))$, onde $\psi(t)$ é o horizonte de predição.
4. Lei de Controle: Aplica a lei de controle nominal $U(t) = K\hat{P}(t)$.

B. Abordagens de Aproximação do Horizonte de Predição ($\psi$)
Para resolver a dificuldade de calcular $\psi(t) = \phi^{-1}(t) - t$, são propostas duas metodologias:

1. Método Numérico (Integração de ODE):

   • Reformula a relação de inversão como uma Equação Diferencial Ordinária (ODE) que descreve a evolução de $\psi(t)$.
   • Utiliza o método de Euler (ou métodos de ordem superior como Runge-Kutta) para integrar essa ODE numericamente.
   • Vantagem: Baseado em modelos físicos, sem necessidade de dados de treinamento.
   • Desvantagem: O erro de aproximação pode crescer com o tempo de horizonte ($T$), exigindo passos de tempo muito pequenos para manter a precisão em longos intervalos.

2. Método Baseado em Dados (Neural Operators):

   • Trata o mapeamento inverso do atraso como um problema de aprendizado de operadores.
   • Utiliza uma Neural Operator (especificamente um Fourier Neural Operator - FNO) para aprender o mapeamento direto da função de atraso $D(t)$ para o horizonte de predição $\psi(t)$.
   • Vantagem: Uma vez treinado, a inferência é extremamente rápida (milissegundos), independentemente da complexidade da integração temporal.
   • Desvantagem: Requer um conjunto de dados de treinamento e a garantia de generalização para novas funções de atraso.

C. Análise de Estabilidade

• Os autores utilizam uma transformação backstepping para converter o sistema de atraso em um sistema cascata ODE-PDE (Equação Diferencial Parcial de Transporte).
• Eles derivam condições suficientes para garantir que, se o erro de aproximação do horizonte ($\epsilon = |\psi - \hat{\psi}|$) for suficientemente pequeno, o sistema em malha fechada permanece globalmente exponencialmente estável.
• A prova utiliza funções de Lyapunov para limitar a propagação do erro de aproximação através da dinâmica do preditor.

3. Principais Contribuições

1. Estrutura Teórica de Aprendizado de Operadores: Estabelecem um framework teórico que reformula a recuperação do atraso inverso como um problema de aproximação de operadores, provando que o mapeamento é Lipschitz contínuo em conjuntos compactos. Isso fornece a base matemática rigorosa para usar tanto métodos numéricos quanto redes neurais.
2. Garantias de Aproximação: Provam teoremas que garantem que ambas as abordagens (integração numérica e Neural Operators) podem atingir qualquer precisão desejada em conjuntos compactos, com trade-offs claros entre custo computacional e escalabilidade.
3. Primeiro Design de Realimentação de Saída para Atrasos Variáveis: Desenvolvem a primeira lei de controle de realimentação de saída (observer + predictor) para sistemas lineares com atrasos variáveis tanto na entrada quanto na medição, lidando com a imprecisão da inversão do atraso.
4. Análise de Robustez: Derivam condições explícitas que relacionam o erro de aproximação do horizonte com a estabilidade do sistema, mostrando que a estabilidade exponencial é preservada desde que o erro de aproximação esteja dentro de uma margem de robustez calculável.

4. Resultados Experimentais

Um exemplo numérico foi realizado com um sistema instável de segunda ordem:

• Configuração: Geração de um conjunto de dados com 2000 funções de atraso oscilatórias (sem forma fechada de inversa).
• Treinamento: Um FNO foi treinado offline (levando ~3 horas) para aprender o mapeamento $D \to \psi$.
• Comparação de Desempenho:
  • Precisão: O método de Euler e o RK4 (Runge-Kutta 4) oferecem alta precisão, mas o FNO também atingiu uma precisão aceitável (erro de validação de $9 \times 10^{-3}$).
  • Eficiência Computacional (Tempo de Inferência Online):
    • Euler: ~11.98 ms por avaliação.
    • RK4: ~42.50 ms (3.5x mais lento que Euler).
    • FNO (Neural Operator): ~2.01 ms.
  • Ganho de Velocidade: O FNO foi 6x mais rápido que o Euler e 21x mais rápido que o RK4, graças à execução em GPU.
• Estabilidade: Simulações mostraram que o sistema estabiliza rapidamente com o controlador baseado no FNO, mesmo com atrasos variáveis complexos.

5. Significância e Impacto

• Viabilidade Prática: O trabalho torna viável a implementação de controle preditivo em sistemas com atrasos variáveis complexos, onde a inversão analítica é impossível e a integração numérica online é computacionalmente proibitiva para sistemas de alta frequência.
• Ponte entre Controle e IA: Demonstra como técnicas modernas de aprendizado de máquina (Neural Operators) podem ser integradas de forma rigorosa e segura em teorias de controle clássico, oferecendo acelerações de ordem de magnitude sem sacrificar a estabilidade garantida.
• Aplicabilidade: O método é particularmente relevante para sistemas ciber-físicos, redes de comunicação, processos de transporte e sistemas de controle remoto, onde os atrasos são inerentemente variáveis e difíceis de modelar analiticamente.

Em resumo, o artigo oferece uma solução robusta e computacionalmente eficiente para um problema clássico de controle, validando que a aproximação de operadores via redes neurais pode substituir com sucesso métodos numéricos tradicionais na implementação de controladores preditivos de alta performance.