Predictor-Based Output-Feedback Control of Linear Systems with Time-Varying Input and Measurement Delays via Neural-Approximated Prediction Horizons

Probleemstelling

Het artikel adresseert een fundamentele uitdaging in de besturing van lineaire systemen met tijdsvariërende vertragingen (time-varying delays) in zowel de invoer (input) als de meting (measurement). Hoewel predictor-feedback methoden sinds de jaren 50 bekend staan om hun stabiliteitsgaranties en vermogen om willekeurig lange vertragingen te compenseren, stuiten ze op een groot implementatieprobleem bij tijdsvariërende vertragingen.

De kern van het probleem is dat de predictor een voorspellingshorizon nodig heeft die wordt gedefinieerd door de inverse van de vertragingfunctie. Voor de meeste tijdsvariërende vertragingen bestaat deze inverse functie niet in gesloten vorm (closed form) en moet deze numeriek worden benaderd. Bestaande methoden zijn vaak onnauwkeurig of computationally expensive, wat de stabiliteit van het gesloten lussysteem in gevaar kan brengen. Het doel van dit werk is het ontwikkelen van een output-feedback regelaar die robuust is tegen fouten in deze benadering van de inverse vertraging.

Methodologie

De auteurs stellen een drie-traps regeling voor die bestaat uit een observator, een reconstructie en een predictor:

1. Observatie: Een observator schat de vertraagde toestand $Z(\phi_2(t))$ op basis van de beschikbare metingen $Y(t)$.
2. Reconstructie: Deze schatting wordt vooruitgepropageerd via de plant-dynamica om de huidige toestand $\hat{Z}(t)$ te schatten.
3. Predictor: De geschatte toestand wordt verder vooruitgepropageerd naar een toekomstig tijdstip $t + \psi(t)$, waarbij $\psi(t)$ de voorspellingshorizon is (de inverse van de vertraging). De regeling gebruikt deze voorspelde toestand voor de feedback.

Het centrale technische probleem is het berekenen van $\psi(t) = \phi^{-1}(t) - t$. De auteurs presenteren twee benaderingsmethoden voor deze inverse mapping:

• Methode 1: Numerieke Integratie (Euler-methode):
  De inverse functie wordt geformuleerd als een differentiaalvergelijking (ODE). Door deze ODE numeriek op te lossen (bijvoorbeeld met de expliciete Euler-methode of Runge-Kutta), wordt de horizon benaderd. De auteurs tonen aan dat deze methode willekeurige nauwkeurigheid kan bereiken, maar dat de benodigde stapgrootte afneemt naarmate de tijdsinterval (horizon) groter wordt, wat leidt tot hoge rekentijd voor lange intervallen.

• Methode 2: Neurale Operatoren (Data-gedreven):
  De auteurs formuleren het probleem als een "operator learning" probleem. Ze trainen een Neurale Operator (specifiek een Fourier Neural Operator - FNO) om de mapping van de vertragingfunctie $D(t)$ direct naar de voorspellingshorizon $\psi(t)$ te leren. Deze methode fungeert als een snelle surrogate voor de dure numerieke integratie.

Belangrijkste Bijdragen

1. Operator-theoretisch Kader: De auteurs leggen een theoretische basis door de inverse vertraging als een operator te definiëren en bewijzen dat deze operator Lipschitz-continu is op compacte verzamelingen. Dit vormt de wiskundige onderbouwing voor de analyse van benaderingsschema's.
2. Twee Benaderingstheorema's: Er worden strenge garanties gegeven voor beide methoden:
   • Een theorema voor de numerieke integratie die de fout boundt op basis van de stapgrootte en de kromming van de vertraging.
   • Een theorema voor neurale operatoren dat bewijst dat deze kunnen convergeren naar de exacte inverse met willekeurige nauwkeurigheid op compacte verzamelingen.
3. Output-Feedback Stabiliteitsanalyse: In tegenstelling tot eerdere werken die zich beperkten tot state-feedback, ontwikkelt dit artikel een output-feedback regeling voor systemen met vertragingen in zowel input als meting.
4. Robuustheid tegen Benaderingsfouten: Het belangrijkste theoretische resultaat (Stelling 4) bewijst dat het gesloten lussysteem globaal exponentieel stabiel blijft, zolang de fout in de benadering van de voorspellingshorizon ($\epsilon$) onder een bepaalde drempelwaarde blijft. De auteurs geven expliciete voorwaarden voor deze drempelwaarde.

Resultaten

De auteurs valideren hun theorie met een numeriek voorbeeld van een instabiel lineair systeem met oscillerende vertragingen:

• Nauwkeurigheid vs. Snelheid: De neurale operator (FNO) werd getraind op een dataset van 2000 voorbeelden. Tijdens de online implementatie was de FNO aanzienlijk sneller dan de numerieke methoden.
  • Euler-methode: ~11,98 ms per evaluatie.
  • Runge-Kutta 4 (RK4): ~42,50 ms per evaluatie.
  • Neurale Operator (FNO): ~2,01 ms per evaluatie (ongeveer 6x sneller dan Euler en 21x sneller dan RK4).
• Stabiliteit: In de simulaties convergeren de observatietoestanden snel en stabiliseert het plant-systeem, zelfs met de benaderde horizon. De fout in de benadering (residu) blijft klein, wat de theoretische stabiliteitsgaranties bevestigt.
• Trade-off: De neurale operator biedt een aanzienlijke snelheidswinst ten koste van een zeer kleine vermindering in nauwkeurigheid ten opzichte van de hoogste orde numerieke methoden, wat het ideaal maakt voor real-time toepassingen.

Significantie

Dit werk is significant omdat het de kloof overbrugt tussen de theoretische elegantie van predictor-feedback en de praktische implementatie bij tijdsvariërende vertragingen.

• Het biedt een systematische aanpak om de "inverse delay" probleem op te lossen, wat vaak een bottleneck was.
• Het introduceert machine learning (neurale operatoren) als een geldig en efficiënt alternatief voor traditionele numerieke integratie in de regeltechniek, met bewezen stabiliteitsgaranties.
• Het uitbreidt de toepasbaarheid van predictor-feedback naar output-feedback scenario's, wat realistischer is voor praktische engineeringtoepassingen waar niet alle toestanden direct meetbaar zijn.

Samenvattend biedt dit artikel een robuust framework voor het ontwerpen van stabiele regelaars voor complexe systemen met variërende vertragingen, waarbij het gebruik van data-gedreven methoden de computatie-efficiëntie drastisch verbetert zonder de stabiliteit te compromitteren.