Integers representable as a difference of two rational fourth powers

1. Formulação do Problema

O artigo aborda a solubilidade da equação diofantina:
$$n = x^4 - y^4$$
onde $n$ é um inteiro positivo e $x, y$ são números racionais não nulos.

Este problema é motivado pelo Último Teorema de Fermat para o expoente $n=4$, o que implica que $1$ não pode ser escrito como a diferença de dois quartos potências racionais não nulos. Enquanto o caso da soma de dois quartos potências racionais ($x^4 + y^4 = n$) foi amplamente resolvido por Cohen, Bremner e Tho para $n \le 10.000$, o caso da diferença permanecia incompleto para certos valores. Os autores visam fornecer uma lista completa de todos os inteiros positivos $n \le 10.000$ que podem ser representados nesta forma.

Matematicamente, o problema é equivalente a encontrar soluções inteiras $(x, y, z)$ com $xyz \neq 0$ para a equação homogênea:
$$x^4 - y^4 = nz^4$$
Devido às propriedades das quartas potências, basta analisar $n$ que são livres de quartas potências.

2. Metodologia

Os autores empregam uma abordagem computacional e teórica multicamada, combinando métodos de curvas elípticas, obstruções locais e fatoração em inteiros de Gauss. O fluxo de trabalho é dividido em três etapas principais:

A. Reduções Fáceis e Curvas Elípticas (Seções 2.1 e 2.2)

A primeira etapa envolve reduzir o problema à busca de pontos racionais em curvas elípticas específicas.

• Transformação: Qualquer solução inteira não trivial para $x^4 - y^4 = nz^4$ implica a existência de pontos racionais em uma das três curvas elípticas associadas:
  1. $Y^2 = X^3 + nX$
  2. $Y^2 = X^3 - nX$
  3. $Y^2 = X^3 - n^2X$
• Verificação de Rango 0: Se qualquer uma dessas curvas tiver rango 0, o conjunto de pontos racionais é finito (apenas pontos de torção). Os autores utilizam o sistema de álgebra computacional Magma para calcular o rango e os pontos de torção. Se os pontos de torção não produzirem uma solução válida (onde $xyz \neq 0$), a equação é provada insolúvel.
• Redução a Equações Octicas: Para casos em que as curvas têm rango positivo, o problema é reduzido (via Teorema 2) à resolução de equações da forma:
  $$a^2u^8 + b^2v^8 = cw^4$$
  onde $a, b, c$ são inteiros dois a dois coprimos tais que $abc \in \{n/8, 2n\}$.
• Obstruções Locais e Peneira de Mordell-Weil:
  • Obstruções Locais: Os autores verificam soluções módulo $p^k$. Se não existirem soluções coprimas módulo um primo, a equação global não tem solução.
  • Peneira de Mordell-Weil: Para equações onde as obstruções locais não conseguem descartar soluções, os autores mapeiam o problema para encontrar pontos racionais em curvas elípticas derivadas da equação octica. Eles utilizam a peneira de Mordell-Weil para verificar se o grupo gerado de pontos módulo um primo $p$ é disjunto do conjunto de soluções locais possíveis, provando assim a insolubilidade.

B. Método de Triplos Pitagóricos (Seção 2.3)

Para casos específicos onde o coeficiente $c$ na equação octica $a^2u^8 + b^2v^8 = cw^4$ é um quadrado perfeito ($c=k^2$), a equação pode ser transformada em um sistema envolvendo triplos pitagóricos:
$$x^2 + y^2 = z^2$$
Usando a parametrização padrão de triplos pitagóricos primitivos, os autores reduzem o problema à resolução de sistemas de equações envolvendo quartas potências (por exemplo, $d^2U^8 - e^2V^8 = bv^4$). Este método resolve com sucesso muitos casos que o método da peneira não conseguiu.

C. Fatoração em $\mathbb{Z}[i]$ (Seção 3 e Apêndice B)

Para os casos restantes e teimosos (listados na Tabela 2 do artigo), os autores utilizam o método de fatoração no anel dos inteiros de Gauss $\mathbb{Z}[i]$.

• Fatoração: A equação $a^2u^8 + b^2v^8 = cw^4$ é reescrita como:
  $$(au^4 + bv^4i)(au^4 - bv^4i) = cw^4$$
• Inteiros de Gauss: Ao analisar o mdc em $\mathbb{Z}[i]$ e a fatoração prima de $c$, os autores deduzem que:
  $$au^4 + bv^4i = \alpha(s + ti)^4$$
  onde $\alpha$ é um divisor de $c$ em $\mathbb{Z}[i]$.
• Insolubilidade Local de Esquemas: Igualando as partes real e imaginária, obtém-se um sistema de duas equações homogêneas de grau quatro nas variáveis $s, t, u, v$. Isso define um esquema no espaço projetivo $\mathbb{P}^3(\mathbb{Q})$. Os autores utilizam o Magma para verificar se este esquema é localmente insolúvel em um primo específico (geralmente 2, 3, 5 ou 17). Se o esquema não tiver soluções módulo $p$, a equação diofantina original não tem soluções inteiras.

3. Contribuições Principais

1. Classificação Completa: O artigo fornece a lista completa de todos os inteiros positivos $n \le 10.000$ representáveis como diferença de dois quartos potências racionais não nulos.
2. Resolução de Casos Abertos: Os autores resolvem os casos específicos deixados em aberto por trabalhos anteriores (Grechuk e Tho), incluindo $n = 219, 463, 514$, e outros até $n=10.000$.
3. Estrutura Algorítmica: O artigo detalha um pipeline computacional robusto combinando rangos de curvas elípticas, a peneira de Mordell-Weil, parametrização pitagórica e fatoração em inteiros de Gauss. Esta estrutura é aplicável a problemas diofantinos semelhantes envolvendo potências superiores.
4. Sequências OEIS: Os resultados estão catalogados na On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) como as sequências A393616 (quartos potências racionais não nulos) e A393617 (permitindo zero).

4. Resultados

• Inteiros Solúveis: A Tabela 3 no artigo lista 136 inteiros $n \le 10.000$ que são representáveis como $x^4 - y^4$. Para cada um, é fornecida uma representação racional específica (por exemplo, $5 = (3/2)^4 - (1/2)^4$).
• Inteiros Insolúveis: O artigo prova que os inteiros restantes no intervalo $1 \le n \le 10.000$ não possuem nenhuma solução racional não nula.
• Casos Específicos: Os apêndices fornecem provas exaustivas para os 33 casos "difíceis" que exigiram o método de fatoração em $\mathbb{Z}[i]$. Por exemplo, para $n=463$, a equação $214369u^8 + v^8 = 2w^4$ é mostrada como não tendo soluções provando que o esquema associado é localmente insolúvel em $p=2$ e $p=3$.

5. Significado

• Completando o Levantamento: Este trabalho paralela o levantamento de Cohen sobre a soma de quartas potências, completando o panorama para o caso da diferença até 10.000.
• Avanço Metodológico: Demonstra o poder de combinar teoria dos números clássica (inteiros de Gauss, triplos pitagóricos) com ferramentas computacionais modernas (Magma, peneira de Mordell-Weil) para resolver equações diofantinas de alto grau.
• Fundação para Pesquisa Futura: Os apêndices detalhados e as técnicas específicas usadas para os casos "difíceis" fornecem um roteiro para abordar problemas semelhantes, como somas ou diferenças de sextas potências ou expoentes superiores.

Em conclusão, Ratcliffe e Tho fecharam com sucesso a lacuna na literatura referente à diferença de quartas potências racionais, fornecendo uma lista definitiva de inteiros representáveis e provas rigorosas para os não representáveis dentro do intervalo especificado.