Positivity-Preserving and Entropy-Stable Oscillation-Eliminating DGSEM for the Compressible Euler Equations on Curvilinear Meshes with Adaptive Mesh Refinement

Título: Método DGSEM Discontínuo de Galerkin Espectral Preservador de Positividade e Estável em Entropia para Eliminação de Oscilações nas Equações de Euler Compressíveis em Malhas Curvilíneas com Refinamento de Malha Adaptativo (AMR).

Autores: Jieling Yang e Guosheng Fu (Universidade de Notre Dame).

1. Problema e Contexto

O artigo aborda o desafio de simular escoamentos compressíveis complexos (governados pelas equações de Euler) utilizando métodos de alta ordem, especificamente o Método de Galerkin Descontínuo Espectral (DGSEM), em geometrias curvilíneas. O foco principal é estender um esquema existente, que é estável em entropia e elimina oscilações (ES-OEDG), para malhas adaptativas (AMR) que contêm interfaces não conformes (nós pendentes).

O problema central reside na interseção de três requisitos críticos em interfaces não conformes:

1. Estabilidade em Entropia: Garantir que a discretização satisfaça uma desigualdade de entropia discreta.
2. Preservação de Positividade: Garantir que a densidade e a pressão permaneçam positivas (físicas), especialmente perto de choques fortes e regiões de baixa densidade.
3. Alta Ordem de Precisão: Manter a taxa de convergência projetada do método (ordem $N$) mesmo na presença de interpolação entre elementos de tamanhos diferentes (refinamento 2:1).

O trabalho anterior dos autores lidava com malhas conformes. A extensão para AMR introduz dificuldades matemáticas significativas devido às interpolações necessárias entre faces de elementos grossos e finos.

2. Metodologia

O método proposto baseia-se na extensão do framework DGSEM para malhas curvilíneas com refinamento 2:1 (permitindo um único nível de nós pendentes). A abordagem é dividida em duas estratégias principais para o tratamento das interfaces não conformes:

A. Fluxo Estável em Entropia (ES)

• Construção: Desenvolveu-se um fluxo numérico que garante conservação global e uma desigualdade de entropia semi-discreta. O fluxo utiliza operadores de interpolação e projeção entre as faces grossa e fina.
• Limitação Crítica: A análise revelou que, para graus polinomiais $N \ge 2$, os operadores de interpolação não conformes contêm entradas negativas. Para garantir a estabilidade em entropia e a preservação de positividade, foi necessário modificar o termo dissipativo introduzindo um fator de sinal ($\text{sign}$).
• Consequência: Essa modificação destrói a propriedade de interpolação formal, resultando na perda da consistência de alta ordem. O fluxo torna-se, no máximo, de primeira ordem formalmente para $N \ge 2$. Para $N=1$, o método mantém a segunda ordem.

B. Fluxo Baseado em "Mortar" (Mortar-based)

• Construção: Para superar a perda de precisão, propôs-se um fluxo clássico baseado em "mortar" (onde as faces finas atuam como a interface mestre). Neste esquema, a solução é interpolada da face grossa para os nós da face fina, e fluxos padrão de dois pontos (Lax-Friedrichs local) são avaliados nos nós finos.
• Vantagens: Este método preserva a alta ordem de precisão (consistência formal) e a preservação de positividade.
• Desvantagem: Perde a garantia teórica de estabilidade em entropia (não satisfaz a desigualdade de entropia discreta provada), embora funcione robustamente em testes numéricos.

C. Preservação de Positividade e AMR

• Framework Zhang-Shu: Os autores estenderam rigorosamente o limitador de escala de Zhang-Shu para malhas curvilíneas não conformes. Provaram que, sob condições CFL adequadas e passo de tempo Euleriano, a média celular permanece admissível (densidade e pressão positivas).
• Transferência de Dados: Foi desenvolvido um procedimento conservador e preservador de positividade para transferir dados entre níveis de malha durante o refinamento e o alisamento (coarsening).
  • Refinamento: Aplica-se o limitador antes de restringir a solução para os filhos.
  • Alisamento: Projeta-se a solução dos filhos para o elemento pai via projeção $L^2$ e aplica-se o limitador para restaurar a admissibilidade nodal.
• Eliminação de Oscilações (OE): Um procedimento de pós-processamento local é aplicado seletivamente em elementos "problemáticos" (identificados por um indicador de choque) para suprimir oscilações espúrias sem afetar regiões suaves.

3. Contribuições Principais

1. Análise de Compromisso (Trade-off): Demonstração teórica clara de que, para $N \ge 2$ em interfaces não conformes, existe um conflito fundamental entre estabilidade em entropia provável e alta ordem de precisão formal. O fluxo estável em entropia perde ordem; o fluxo de alta ordem perde a prova de estabilidade em entropia.
2. Extensão Rigorosa de Positividade: Prova matemática de que o esquema DGSEM, tanto com o fluxo estável em entropia quanto com o fluxo baseado em mortar, preserva a positividade da densidade e pressão em malhas curvilíneas AMR, desde que combinado com o limitador de Zhang-Shu.
3. Framework AMR Completo: Desenvolvimento de uma infraestrutura completa para DGSEM em malhas curvilíneas não conformes, incluindo indicadores de choque, transferência de dados conservadora e eliminação de oscilações adaptativa.

4. Resultados Numéricos

Os autores validaram o método em vários casos de teste usando o framework de código aberto MFEM:

• Vórtice Isentrópico: Teste de convergência em malhas curvilíneas não conformes.
  • O fluxo estável em entropia (ES) mostrou taxas de convergência degradadas (aprox. 1.0–1.5) para $N \ge 2$.
  • O fluxo baseado em mortar atingiu a ordem de precisão projetada ($N$) para todos os casos.
• Reflexão Dupla de Mach: Problema com choques fortes e estruturas de pequena escala.
  • O método com fluxo mortar ($N=2$) e AMR capturou detalhes finos (como linhas de deslizamento) muito melhor do que malhas conformes uniformes ou o fluxo ES de baixa ordem.
• Jato Astrofísico de Alto Número de Mach: Teste extremo de preservação de positividade.
  • O esquema manteve-se estável e preservou a positividade em regiões de densidade extremamente baixa, onde métodos convencionais falhariam.
• Escoamento Supersônico sobre Cilindro: Demonstrou a eficácia do AMR em malhas curvilíneas complexas para capturar instabilidades de Kelvin-Helmholtz e interações de choque com um número moderado de graus de liberdade.

5. Significado e Conclusão

Este trabalho representa um avanço significativo na simulação de fluidos compressíveis de alta ordem. Ele fornece um algoritmo robusto e eficiente para malhas adaptativas curvilíneas, essencial para problemas de engenharia e física com geometrias complexas.

A principal conclusão é a identificação de uma barreira teórica atual: não é possível, com a formulação atual, obter simultaneamente estabilidade em entropia provável, preservação de positividade provável e alta ordem de precisão formal em interfaces não conformes para $N \ge 2$. O artigo oferece duas soluções práticas:

1. O fluxo ES para quando a estabilidade teórica em entropia é prioritária (aceitando perda de ordem).
2. O fluxo de mortar para quando a alta precisão é prioritária (aceitando a perda da prova de estabilidade em entropia, mas mantendo robustez empírica e preservação de positividade).

O método proposto é particularmente valioso para simulações que exigem resolução adaptativa de estruturas de choque e turbulência em geometrias complexas, garantindo que a solução permaneça fisicamente admissível (positiva) em todas as etapas da adaptação da malha.