Droplets sitting on thin elastic sheets: A study with the boundary element method

Resumo Técnico: Gotas sobre Folhas Elásticas Finas: Um Estudo com o Método de Elementos de Contorno

Problema
O artigo investiga a interação elasto-capilar entre uma gota líquida e uma folha elástica fina. Diferente de substratos rígidos, sólidos flexíveis deformam-se sob a influência de forças capilares, levando a formas de equilíbrio complexas onde a gota afunda na folha, formando uma estrutura em forma de lente. Embora estudos anteriores tenham explorado padrões de rugosidade (wrinkling), durotaxia (movimento em direção a regiões mais macias) e formas anisotrópicas sob tensão, era necessário um arcabouço numérico unificado para simular as formas de equilíbrio de gotas sobre folhas elásticas sob várias condições de contorno e protocolos de tensão. Especificamente, os autores visam quantificar como a espessura da folha, a tensão isotrópica e o estiramento uniaxial influenciam a morfologia da gota, a distribuição de tensão e as propriedades ópticas.

Metodologia
Os autores estendem o seu Método de Elementos de Contorno (BEM) desenvolvido anteriormente para simular a dinâmica acoplada de uma gota e uma folha elástica. O núcleo da metodologia envolve:

1. Equações Dinâmicas: O sistema é modelado usando dinâmica superamortecida (overdamped) onde os campos de velocidade da superfície da gota ($\dot{R}_0$) e da folha elástica ($\dot{R}_{sh}$) são acoplados. A equação governante é um sistema linear $G\dot{R} = -\nabla_R F$, onde $G$ é a matriz de fricção e $F$ é a energia livre total.
2. Formulação da Energia Livre:
   • Gota ($F_0$): Inclui a tensão superficial líquido-gás e o trabalho realizado contra a interface substrato-líquido, regido pelo ângulo de contato de Young. Um termo de tensão de linha é incluído, mas definido como zero por ser negligenciável para as folhas elásticas consideradas.
   • Folha ($F_{sh}$): Modelada usando o modelo de Skalak para cisalhamento no plano e dilatação de área (hiperelasticidade) e o modelo de Helfrich para flexão fora do plano. Os módulos elásticos (cisalhamento $\kappa_S$, área $\kappa_A$ e flexão $\kappa_b$) são derivados de propriedades de materiais volumétricos (módulo de Young $E$ e razão de Poisson $\nu$) e da espessura da folha $d$.
   • Restrições ($F_{cons}$): Aplicadas via multiplicadores de Lagrange para manter o volume constante da gota e garantir a conectividade geométrica entre as malhas da gota e da folha na interface.
3. Matriz de Fricção: A matriz $G$ incorpora tensões de cisalhamento viscosas (derivadas do tensor de Oseen), fricção da linha de contato (resultado de Moffatt) e fricção líquido-substrato regida pela condição de escorregamento de Navier.
4. Implementação Numérica: O sistema é discretizado usando malhas triangulares geradas pelo gmsh. Os autores empregam um esquema de interpolação ponderada (usando Surrogates.jl) para mapear forças e velocidades entre as distintas malhas da gota e da folha. As simulações são adimensionalizadas usando o raio da linha de contato $R_0$ e escalas de tempo características derivadas da lei de Cox-Voinov.

Principais Resultados
O estudo aplica o BEM estendido a três protocolos específicos:

1. Folha Elástica Presa (Clamped):

   • A forma de equilíbrio da gota é uma lente que se torna cada vez mais assimétrica em relação ao plano da linha de contato conforme a espessura da folha aumenta.
   • Dependência da Espessura: À medida que a espessura ($d$) aumenta, a parte inferior da gota ($h_l$) diminui enquanto a parte superior ($h_u$) aumenta, embora a altura total permaneça relativamente constante.
   • Ângulos de Contato: O ângulo de contato microscópico na linha de contato concorda com o ângulo de Young, validando o modelo. No entanto, o ângulo de contato macroscópico (determinado pela forma geral da lente) difere significativamente do ângulo de Young e depende da espessura da folha.
   • Desacoplamento: A forma da metade inferior da gota é determinada principalmente pela elasticidade da folha e é quase independente do ângulo de contato de equilíbrio ($\theta_{eq}$), enquanto $\theta_{eq}$ influencia primariamente a metade superior.

2. Folha Esticada Isotropicamente:

   • A aplicação de tensão isotrópica eleva a gota, reduzindo a deformação da folha até que ela se torne plana novamente em extensões elevadas ($\epsilon \approx 0.1$).
   • Perfis de Tensão: Os autores quantificam perfis radiais de tensões elásticas azimutais ($T_{\phi\phi}$) e radiais ($T_{rr}$). As tensões aumentam com a extensão, e a linha de contato localiza-se próxima a um ponto de inflexão nas curvas de tensão.
   • Ajuste Óptico: A gota em forma de lente atua como uma lente óptica líquida. A distância focal, calculada via equação do fabricante de lentes, pode ser ajustada reversivelmente em aproximadamente 15% variando a tensão aplicada. Esta gama é comparável à gama de ajuste de lentes em smartphones modernos.

3. Folha Esticada Uniaxialmente:

   • O estiramento da folha ao longo de uma direção alonga a gota. O grau de alongamento depende das condições de contorno das bordas laterais (presas, movimento controlado para dentro ou livres).
   • Morfologia: Bordas laterais livres resultam no alongamento mais pronunciado e deslocamentos verticais significativos, criando dobras ascendentes e depressões na folha. A linha de contato torna-se não planar, elevada na direção lateral e deprimida na direção do estiramento.
   • Anisotropia: A razão de aspecto da pegada da linha de contato e a anisotropia do ângulo de contato macroscópico são quantificadas. O alongamento é atribuído ao fato de a gota experienciar diferentes rigidezes efetivas da folha ao longo da direção de estiramento e da direção lateral.

Significância e Alegações
O artigo alega que o BEM estendido fornece uma ferramenta numérica robusta para simular sistemas elasto-capilares, capturando com sucesso a interação entre a dinâmica de fluidos e as deformações elásticas. As principais contribuições são:

• Metodológicas: Um BEM formalizado que acopla a dinâmica da superfície da gota com as deformações da folha elástica, incluindo energias de plano e de flexão.
• Insight Físico: Demonstração de que a espessura da folha é um parâmetro crítico que controla a assimetria da gota e que o ângulo de contato microscópico permanece consistente com a lei de Young, apesar das deformações macroscópicas.
• Aplicação: O estudo demonstra explicitamente que a aplicação de tensão a uma folha elástica permite o ajuste dinâmico e reversível da distância focal de lentes líquidas. Isto oferece um mecanismo potencial para controlar propriedades ópticas em dispositivos micro-optofluídicos.
• Direções Futuras: Os autores sugerem que o método abre caminhos para o estudo de padrões de rugosidade, durotaxia em gradientes de tensão e interações elastocapilares entre múltiplas gotas, observando que a tensão uniaxial pode levar a potenciais de interação anisotrópicos e dinâmicas complexas.