Droplets sitting on thin elastic sheets: A study with the boundary element method

Résumé technique : Gouttes posées sur des feuilles élastiques minces : une étude par la méthode des éléments de frontière

Énoncé du problème
L'article étudie l'interaction élasto-capillaire entre une goutte de liquide et une feuille élastique mince. Contrairement aux substrats rigides, les solides flexibles se déforment sous l'influence des forces capillaires, menant à des formes d'équilibre complexes où la goutte s'enfonce dans la feuille, formant une structure en forme de lentille. Alors que des études antérieures ont exploré les motifs de rides, la durotaxie (mouvement vers des régions plus molles) et les formes anisotropes sous contrainte, un cadre numérique unifié pour simuler les formes d'équilibre des gouttes sur des feuilles élastiques sous diverses conditions aux limites et protocoles de tension était nécessaire. Plus précisément, les auteurs visent à quantifier comment l'épaisseur de la feuille, la tension isotrope et l'étirement uniaxial influencent la morphologie de la goutte, la distribution des contraintes et les propriétés optiques.

Méthodologie
Les auteurs étendent leur méthode des éléments de frontière (BEM) précédemment développée pour simuler la dynamique couplée d'une goutte et d'une feuille élastique. Le cœur de la méthodologie repose sur :

1. Équations dynamiques : Le système est modélisé par une dynamique suramortie où les champs de vitesse de la surface de la goutte ($\dot{R}_0$) et de la feuille élastique ($\dot{R}_{sh}$) sont couplés. L'équation directrice est un système linéaire $G\dot{R} = -\nabla_R F$, où $G$ est la matrice de friction et $F$ l'énergie libre totale.
2. Formulation de l'énergie libre :
   • Goutte ($F_0$) : Comprend la tension superficielle liquide-gaz et le travail effectué contre l'interface substrat-liquide, régi par l'angle de contact de Young. Un terme de tension de ligne est inclus mais fixé à zéro car il est négligeable pour les feuilles élastiques considérées.
   • Feuille ($F_{sh}$) : Modélisée à l'aide du modèle de Skalak pour le cisaillement dans le plan et la dilatation de surface (hyperélasticité) et du modèle de Helfrich pour la flexion hors plan. Les modules élastiques (cisaillement $\kappa_S$, dilatation de surface $\kappa_A$ et flexion $\kappa_b$) sont dérivés des propriétés du matériau massif (module de Young $E$ et coefficient de Poisson $\nu$) et de l'épaisseur de la feuille $d$.
   • Contraintes ($F_{cons}$) : Appliquées via des multiplicateurs de Lagrange pour maintenir un volume de goutte constant et assurer la connectivité géométrique entre les maillages de la goutte et de la feuille à l'interface.
3. Matrice de friction : La matrice $G$ incorpore les contraintes de cisaillement visqueuses (dérivées du tenseur d'Oseen), la friction de la ligne de contact (résultat de Moffatt) et la friction liquide-substrat régie par la condition de glissement de Navier.
4. Implémentation numérique : Le système est discrétisé à l'aide de maillages triangulaires générés par gmsh. Les auteurs emploient un schéma d'interpolation pondérée (utilisant Surrogates.jl) pour mapper les forces et les vitesses entre les maillages distincts de la goutte et de la feuille. Les simulations sont non-dimensionnalisées en utilisant le rayon de la ligne de contact $R_0$ et des échelles de temps caractéristiques dérivées de la loi de Cox-Voinov.

Résultats clés
L'étude applique la BEM étendue à trois protocoles spécifiques :

1. Feuille élastique encastrée :

   • La forme d'équilibre de la goutte est une lentille qui devient de plus en plus asymétrique par rapport au plan de la ligne de contact à mesure que l'épaisseur de la feuille augmente.
   • Dépendance à l'épaisseur : À mesure que l'épaisseur ($d$) augmente, la partie inférieure de la goutte ($h_l$) diminue tandis que la partie supérieure ($h_u$) augmente, bien que la hauteur totale reste relativement constante.
   • Angles de contact : L'angle de contact microscopique à la ligne de contact concorde avec l'angle de Young, validant ainsi le modèle. Cependant, l'angle de contact macroscopique (déterminé par la forme globale de la lentille) diffère significativement de l'angle de Young et dépend de l'épaisseur de la feuille.
   • Découplage : La forme de la moitié inférieure de la goutte est principalement déterminée par l'élasticité de la feuille et est presque indépendante de l'angle de contact d'équilibre ($\theta_{eq}$), tandis que $\theta_{eq}$ influence principalement la moitié supérieure.

2. Feuille étirée de manière isotrope :

   • L'application d'une tension isotrope soulève la goutte, réduisant la déformation de la feuille jusqu'à ce qu'elle redevienne plane à des extensions élevées ($\epsilon \approx 0,1$).
   • Profils de contrainte : Les auteurs quantifient les profils radiaux des contraintes élastiques azimutales ($T_{\phi\phi}$) et radiales ($T_{rr}$). Les contraintes augmentent avec l'extension, et la ligne de contact se situe près d'un point d'inflexion des courbes de contrainte.
   • Réglage optique : La goutte en forme de lentille agit comme une lentille optique liquide. La distance focale, calculée via l'équation du fabricant de lentilles, peut être réglée de manière réversible d'environ 15 % en faisant varier la tension appliquée. Cette plage est comparable à la plage de réglage des lentilles dans les smartphones modernes.

3. Feuille étirée de manière uniaxiale :

   • L'étirement de la feuille selon une direction allonge la goutte. Le degré d'allongement dépend des conditions aux limites des bords latéraux (encastrés, mouvement vers l'intérieur contrôlé ou libres).
   • Morphologie : Les bords latéraux libres entraînent l'allongement le plus prononcé et des déplacements verticaux importants, créant des plis ascendants et des creux dans la feuille. La ligne de contact devient non plane, élevée dans la direction latérale et abaissée dans la direction de l'étirement.
   • Anisotropie : Le rapport de forme de l'empreinte de la ligne de contact et l'anisotropie de l'angle de contact macroscopique sont quantifiés. L'allongement est attribué au fait que la goutte subit des rigidités de feuille effectives différentes selon la direction d'étirement et la direction latérale.

Signification et revendications
L'article affirme que la BEM étendue fournit un outil numérique robuste pour simuler les systèmes élasto-capillaires, capturant avec succès l'interaction entre la dynamique des fluides et les déformations élastiques. Les principales contributions sont :

• Méthodologiques : Une BEM formalisée qui couple la dynamique de surface de la goutte avec les déformations de la feuille élastique, incluant les énergies de plan et de flexion.
• Aperçu physique : Démonstration que l'épaisseur de la feuille est un paramètre critique contrôlant l'asymétrie de la goutte et que l'angle de contact microscopique reste cohérent avec la loi de Young malgré les déformations macroscopiques.
• Application : L'étude démontre explicitement que l'application de tension à une feuille élastique permet le réglage dynamique et réversible de la distance focale des lentilles liquides. Cela offre un mécanisme potentiel pour contrôler les propriétés optiques dans les dispositifs micro-optofluidiques.
• Directions futures : Les auteurs suggèrent que la méthode ouvre des voies pour l'étude des motifs de rides, de la durotaxie dans les gradients de tension, et des interactions élasto-capillaires entre plusieurs gouttes, notant que la tension uniaxiale pourrait conduire à des potentiels d'interaction anisotropes et à des dynamiques complexes.