A note on partitions in the image of pre$_2$

Resumo Técnico: Uma Nota sobre Partições na Imagem de $pre_2$

Enunciado do Problema
Este artigo aborda uma questão recentemente proposta por Devnani e Eyyunni em relação à função $pre_2(n)$, que conta o número de partições de inteiros de $n$ que pertencem à imagem do mapa $pre_2$. O mapa $pre_2$ é definido sobre uma partição $\lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_\ell)$ gerando uma nova partição cujas partes são todos os produtos de $k=2$ partes distintas de $\lambda$. Especificamente, os autores investigam se existe um inteiro $n \ge 1$ tal que exatamente uma partição de $n$ esteja na imagem de $pre_2$ (ou seja, $pre_2(n) = 1$).

Metodologia
Os autores empregam uma abordagem construtiva para demonstrar a existência de múltiplas partições na imagem de $pre_2$ para $n$ suficientemente grande.

1. Observação Basal: O artigo estabelece primeiro que a partição $(n)$ está sempre na imagem de $pre_2$ porque $pre_2(n, 1) = (n)$. Assim, $pre_2(n) \ge 1$ para todo $n \ge 1$.
2. Estratégia Construtiva: Para provar que $pre_2(n) \ge 2$ para $n \ge 5$, os autores constroem partições específicas $\lambda$ com pelo menos três partes de modo que a soma das partes de $pre_2(\lambda)$ seja igual a $n$. Como $pre_2(\lambda)$ para uma partição com $\ge 3$ partes resulta em pelo menos $\binom{3}{2} = 3$ partes, a partição resultante não pode ser a partição de uma única parte $(n)$. Isso garante um segundo elemento distinto na imagem.
3. Análise de Casos: A prova cobre todos os inteiros $n \ge 5$ dividindo-os em cinco casos exaustivos baseados em paridade e aritmética modular (especificamente módulo 3 e 4). As construções utilizam partições de uma forma simples, tipicamente consistindo de uma parte "grande" $a$ e várias partes pequenas (1s ou 2s). A soma das partes de $pre_2(\lambda)$ é calculada usando a fórmula para produtos em pares:
   • Para $\lambda = (a, 1, \dots, 1)$ com $m-1$ uns, a soma é $a(m-1) + \binom{m-1}{2}$.
   • Para $\lambda = (a, 2, 2)$, a soma é $4a + 4$.

Contribuições Principais e Resultados
A principal contribuição do artigo é a resolução completa da questão proposta por Devnani e Eyyunni. O resultado principal é formalizado no Teorema 1:

• $pre_2(n) = 1$ se, e somente se, $n \in \{1, 2, 4\}$.
• Para todo $n \ge 5$, $pre_2(n) \ge 2$.

Os autores fornecem construções explícitas para os cinco casos cobrindo $n \ge 5$:

• Caso 1 (Ímpar $n \ge 5$): Usa $\lambda = (\frac{n-1}{2}, 1, 1)$.
• Caso 2 (Par $n$, $3|n$, $n \ge 6$): Usa $\lambda = (\frac{n}{3}-1, 1, 1, 1)$.
• Caso 3 (Par $n$, $3 \nmid n$, $4|n$, $n \ge 12$): Usa $\lambda = (\frac{n-4}{4}, 2, 2)$.
• Caso 4 (Par $n$, $3 \nmid n$, $n \equiv 2 \pmod 4$, $n \ge 10$): Usa $\lambda = (\frac{n-6}{4}, 1, 1, 1, 1)$.
• Caso 5 ($n=8$): Usa $\lambda = (2, 2, 1)$, resultando em $pre_2(2, 2, 1) = (4, 2, 2)$.

Adicionalmente, o artigo analisa valores pequenos ($n \le 4$) para confirmar que nenhuma partição com três ou mais partes soma 1, 2 ou 4 sob o mapa $pre_2$, validando assim o conjunto de exceção $\{1, 2, 4\}$. Os autores também observam uma verificação computacional de que $pre_2(n) \ge 2$ se mantém para todos os $5 \le n \le 10.000$.

Significado e Escopo
O artigo reivindica modestamente fornecer uma resposta definitiva a um problema aberto específico na teoria de partições de inteiros e polinômios simétricos elementares. Ele não propõe novas aplicações ou fórmulas assintóticas. Em vez disso, destaca que as construções utilizadas dependem de partições de uma "forma simples" (uma parte grande e partes pequenas). Os autores sugerem que, embora seu trabalho resolva a questão de existência, ele deixa aberta a possibilidade de obter limites inferiores mais agudos para $pre_2(n)$ ou encontrar uma fórmula assintótica através de construções mais variadas. O trabalho serve como uma caracterização precisa do tamanho da imagem do mapa $pre_2$ para inteiros pequenos e grandes.