On the classification of indecomposable Ekedahl-Oort strata in unitary Shimura varieties, and related Newton polygons

Resumo Técnico: Sobre a Classificação de Estratos de Ekedahl-Oort Indecomponíveis em Variedades de Shimura Unitárias e Polígonos de Newton Relacionados

Enunciado do Problema
Este artigo aborda a classificação de estratos de Ekedahl-Oort (EO) indecomponíveis em variedades de Shimura unitárias $M(a, b)$ definidas sobre um corpo algebricamente fechado $k$ de característica $p > 2$. Estas variedades parametrizam variedades abelianas de dimensão $a+b$ equipadas com uma ação de uma ordem em um campo quadrático imaginário onde $p$ é inerte, satisfazendo uma condição de assinatura $(a, b)$. Embora a estrutura dos estratos EO para variedades modulares de Siegel e assinaturas unitárias específicas (como $(q-1, 1)$) tenha sido estudada anteriormente, uma classificação completa para assinaturas arbitrárias $(a, b)$ no contexto unitário permanecia em aberto. Além disso, o artigo busca elucidar a interação entre a estratificação EO e a estratificação de Newton, especificamente determinando quando um estrato EO intersecta o locus supersingular.

Metodologia
Os autores empregam uma combinação de teoria de Dieudonné, teoria de grupos combinatórios e técnicas de levantamento geométrico (geometric lifting). A metodologia central procede da seguinte forma:

1. Classificação Combinatória via Palavras: Baseando-se no teorema de estrutura de Kraft para módulos de Dieudonné mod-$p$, os autores representam módulos indecomponíveis usando palavras no alfabeto $\{f, v\}$ (representando os operadores Frobenius e Verschiebung). Eles estendem a classificação de módulos BT1 polarizados (associados a variedades de Siegel) para módulos BT1 unitários (associados a variedades de Shimura unitárias).
2. Teoremas de Decomposição: O artigo estabelece que qualquer módulo BT1 unitário decompõe-se unicamente em uma soma direta de tipos indecomponíveis específicos. Isso envolve a análise dos "diagramas de Kraft" associados a essas palavras e a identificação das restrições impostas pela estrutura unitária (especificamente a condição da involução de Rosati e a propriedade lagrangiana dos subespaços $M_0$ e $M_1$).
3. Tradução para Grupos de Weyl: Utilizando a correspondência de Moonen entre estratos EO e classes laterais no grupo de Weyl $S_q$ (onde $q=a+b$), os autores desenvolvem um algoritmo para traduzir a descrição combinatória por "palavras" de um estrato para o representante da classe lateral do grupo de Weyl, o que preenche a lacuna entre a descrição algébrica da $p$-torsão e a topologia geométrica dos estratos.
4. Levantamentos Tautológicos e Polígonos de Newton: Para estudar a interseção com estratos de Newton, os autores constroem um "levantamento tautológico" de um módulo BT1 unitário para um módulo de Dieudonné $p$-ádico unitário. Ao computar o polígono de Newton deste levantamento, eles determinam o estrato de Newton específico que o estrato EO intersecta.

Contribuições Principais e Resultados

• Classificação de Tipos Indecomponíveis: O resultado primário (Teorema 4.21) é uma classificação completa de módulos BT1 unitários indecomponíveis. Os autores provam que todo tal módulo é isomorfo a exatamente um de quatro tipos:

  1. Uniciclo Unitário: Resultante de uma palavra primitiva autoduais $w = yy^\star$ onde $y$ possui comprimento ímpar.
  2. Biciclo Unitário: Resultante de uma palavra primitiva não autodual $w$ de comprimento par (especificamente o módulo $M(w) \oplus M(w^\star)$).
  3. Uniciclo de Serre: Resultante de uma palavra primitiva autodual $w$ de comprimento divisível por 4. Estes correspondem à construção de tensor de Serre de um uniciclo polarizado.
  4. Biciclo de Serre: Resultante de uma palavra $w = zz$ onde $z$ é uma palavra primitiva não autodual de comprimento ímpar. Estes correspondem à construção de tensor de Serre de um biciclo polarizado.
     O artigo fornece fórmulas explícitas para as assinaturas $(a, b)$ associadas a cada tipo baseadas na distribuição de $f$ e $v$ nas palavras definidoras.

• Tradução Algorítmica (Palavra para Weyl): A Seção 5 apresenta um algoritmo (Teorema 5.3) que converte o multiconjunto de palavras que descrevem um módulo BT1 unitário no representante de classe lateral de comprimento mínimo do grupo de Weyl $\gamma \in W(a, b)$. Isso permite a identificação explícita do estrato EO em termos da ordem de Bruhat, facilitando o estudo das relações de fechamento.

• Interseção com Estratos de Newton: Usando a construção do levantamento tautológico, os autores computam o polígono de Newton para qualquer dado estrato EO (Teorema 6.10). Eles provam que o estrato EO correspondente a um conjunto de palavras $W$ intersecta o estrato de Newton definido pelas inclinações (slopes) dessas palavras.

  • Interseção Supersingular: Uma aplicação significativa (Corolários 6.12 e 6.13) demonstra que os estratos EO correspondentes a Uniciclos Unitários e Uniciclos de Serre sempre intersectam o locus supersingular (o único estrato de Newton fechado). Isso ocorre porque as palavras definidoras para esses tipos são necessariamente "equilibradas" (contendo um número igual de $f$ e $v$), resultando em um polígono de Newton com inclinação constante de $1/2$.

Significância
O artigo fornece um teorema estrutural fundamental para a $p$-torsão de variedades abelianas no contexto unitário, análogo aos resultados de Oort para o caso de Siegel. Ao categorizar os estratos indecomponíveis em quatro tipos distintos e fornecer uma ponte computacional para representantes de grupos de Weyl, o trabalho permite uma análise mais precisa da geometria das variedades de Shimura unitárias em assinaturas arbitrárias. A construção de levantamentos tautológicos e a subsequente determinação das interseções de polígonos de Newton oferecem um método concreto para verificar a não-vacuidade das interseções entre estratos EO e de Newton, estendendo resultados anteriores conhecidos apenas para assinaturas específicas (como tipos de Coxeter ou baixas dimensões) para o caso geral. A identificação da interseção com o locus supersingular para estratos do tipo uniciclo resolve uma questão específica sobre a topologia dessas variedades.