A robust mixed finite element formulation for third medium contact

Resumo Técnico: Uma Formulação Robusta de Elementos Finitos Mistos para o Terceiro Meio de Contato

Enunciado do Problema
As formulações clássicas de contato por elementos finitos baseiam-se na discretização explícita das interfaces de contato, impondo restrições via penalidade, multiplicadores de Lagrange ou métodos de barreira. Embora maduras, essas abordagens enfrentam cargas algorítmicas significativas em cenários envolvendo grandes deslizamentos, autocontato, distorção severa de malha ou otimização topológica onde as fronteiras de contato são desconhecidas a priori. O método do "terceiro meio de contato" (TMC) aborda isso substituindo restrições explícitas por um meio fictício altamente complacente que preenche o espaço entre corpos potencialmente em contato. Este meio permanece macio antes do contato, mas torna-se rígido drasticamente sob compressão, transmitindo as forças de contato através do contínuo.

No entanto, um desafio central no TMC é a estabilização. O meio deve ser suficientemente macio para evitar forças espúrias pré-contato, mas estável o suficiente para suportar compressão e cisalhamento extremos sem distorção de malha. As estratégias de estabilização existentes frequentemente exigem elementos de ordem superior (para computar segundas derivadas do deslocamento), introduzem campos auxiliares globais que aumentam o tamanho do sistema ou dependem de discretizações especializadas. Há uma necessidade de um mecanismo de estabilização robusto compatível com elementos finitos de primeira ordem simples e computacionalmente eficientes, que evite a avaliação direta de segundas derivadas do deslocamento.

Metodologia
Os autores propõem uma formulação de elementos finitos mistos que introduz uma estabilização de campo auxiliar para o terceiro meio. O núcleo do método envolve:

1. Introdução de Campo Auxiliar: Um campo semelhante ao gradiente de deformação, denotado por $\Theta$, é introduzido no terceiro meio e tratado como uma incógnita independente, desacoplada do campo de deslocamento físico $u$.
2. Acoplamento Fraco: O campo auxiliar $\Theta$ é fracamente acoplado ao gradiente de deformação físico $F$ via um termo de penalidade ($W^p_{tm} \propto |\Theta - F|^2$). Isso garante que $\Theta$ acompanhe a deformação física.
3. Regularização de Gradiente: Em vez de penalizar o gradiente do gradiente de deformação físico ($\nabla F$), que exigiria segundas derivadas do deslocamento, a formulação penaliza o gradiente do campo auxiliar ($\nabla \Theta$). A energia de regularização é definida como $W^r_{tm} \propto |\nabla \Theta|^2$.
4. Discretização Mista: A formulação permite a interpolação independente de $u$ e $\Theta$. Os autores investigam aproximações tanto contínuas quanto discretas por elemento para $\Theta$.
   • $\Theta$ Contínuo: Os valores nodais são compartilhados entre os elementos, criando acoplamento entre elementos.
   • $\Theta$ Discreto: Os graus de liberdade são locais a cada elemento. Estes podem ser eliminados via condensação estática, garantindo que o sistema global retenha apenas os graus de liberdade de deslocamento.

Principais Contribuições

• Compatibilidade de Baixa Ordem: A formulação alcança regularização do tipo gradiente sem computar segundas derivadas do campo de deslocamento, tornando-a compatível com elementos finitos padrão de primeira ordem (lineares) e segunda ordem.
• Mecanismo de Estabilização: O artigo elucida que, para elementos de deslocamento de baixa ordem (onde $F$ é constante por elemento), uma interpolação contínua de $\Theta$ é essencial. Ela transfere saltos de elemento a elemento em $F$ para gradientes não nulos de $\Theta$, ativando a regularização. Em contraste, campos $\Theta$ descontínuos não conseguem gerar esses gradientes interelementares, enfraquecendo o efeito de estabilização para elementos de baixa ordem.
• Condensação Estática: Para campos auxiliares descontínuos, o método demonstra que as incógnitas adicionais podem ser condensadas localmente, evitando o aumento do tamanho do sistema global enquanto retém a estabilização local.

Resultados Numéricos
A formulação foi avaliada através de vários problemas de teste:

• Compressão de Dois Blocos: Demonstrou que o parâmetro de escala do terceiro meio $\gamma$ controla o equilíbrio entre o gap residual (precisão de contato) e a robustez da convergência não linear. Um $\gamma$ menor produz um contato mais apertado, mas requer mais iterações de Newton. O método permaneceu estável sob compressão e cisalhamento combinados.
• Autocontato dentro de uma Caixa:
  • Comparação de Interpolação: Campos auxiliares contínuos ($T_u^1 T_\Theta^1$, $T_u^2 T_\Theta^2$) proporcionaram fechamento de contato robusto. O par misto $T_u^2 T_\Theta^1$ (deslocamento quadrático, auxiliar linear) ofereceu resultados comparáveis a $T_u^2 T_\Theta^2$ com menos graus de liberdade auxiliares.
  • Discreto vs. Contínuo: Campos auxiliares descontínuos mostraram eficácia de regularização reduzida, particularmente para elementos lineares onde o termo de gradiente desaparecia ou falhava em acoplar os elementos.
  • Comparação com Média do Gradiente de Deformação: Comparado ao método de Faltus et al. [18], a proposta de formulação mista exigiu significativamente menos passos de carga e iterações de Newton, demonstrando robustez não linear superior. Embora a formulação mista possua um sistema algébrico maior, a melhor convergência compensou o custo em malhas de tamanho moderado, embora o custo dos DOFs auxiliares se tornasse dominante em malhas extremamente finas ($>10^6$ incógnitas).
• Caixa em Forma de C: A formulação capturou com sucesso grandes rotações, autocontato progressivo e compressão severa do terceiro meio. A resposta força-deslocamento aproximou-se fortemente das formulações clássicas de contato nó-a-segmento, com transições suaves para o contato.
• Extensão 3D: Um exemplo de autocontato tridimensional confirmou a aplicabilidade do método além de configurações de plano de deformação.

Significância e Alegações
O artigo afirma que a estabilização por campo auxiliar proposta fornece uma alternativa robusta e compatível com baixa ordem aos algoritmos de contato clássicos e às regularizações de TMC existentes. Ao evitar a avaliação direta de segundas derivadas do deslocamento, ela permite o uso de elementos finitos simples e computacionalmente baratos (lineares e quadráticos) para problemas de contato complexos envolvendo grandes deformações e autocontato.

Os autores enfatizam que a eficácia do método está intrinsecamente ligada à continuidade do campo auxiliar; interpolações contínuas são necessárias para gerar o mecanismo de estabilização baseado em gradiente para elementos de deslocamento de baixa ordem. A formulação é particularmente adequada para aplicações onde as fronteiras de contato são desconhecidas ou evoluem, como em mecanismos auxiliados por contato, robótica suave e otimização topológica, onde a abordagem baseada em contínuo elimina a necessidade de algoritmos explícitos de busca de contato e estratégias de conjunto ativo. O trabalho conclui que, embora o método troque um sistema algébrico local maior por uma melhor robustez global, ele oferece um caminho viável para simular cenários de contato severo sem a complexidade de elementos de ordem superior ou tecnologias de malha especializadas.