A consistent-splitting generalized scalar auxiliary variable scheme for the perturbed Boussinesq system

Resumo Técnico: Um Esquema de Divisão Consistente de Variável Auxiliar Escalar Generalizada para o Sistema de Boussinesq Perturbado

Enunciado do Problema
Este trabalho aborda a simulação numérica do sistema de Boussinesq perturbado bidimensional, que modela fluxos impulsionados por flutuabilidade em ambientes estavelmente estratificados (ex.: dinâmica atmosférica e oceânica). O sistema é derivado pela subtração de um equilíbrio hidrostático estável e linearmente estratificado das equações de Boussinesq padrão. O sistema perturbado resultante (Equação 6) apresenta um acoplamento específico onde a flutuabilidade impulsiona o movimento vertical na equação do momento, enquanto o movimento vertical advecta o gradiente de temperatura de fundo linear na equação da temperatura. Esse acoplamento gera ondas de gravidade internas e impulsiona a relaxação das perturbações em direção ao equilíbrio hidrostático. O principal desafio matemático reside na restrição de incompressibilidade e na estrutura de ponto-sela do sistema velocidade-pressão, agravada pela necessidade de precisão de alta ordem e estabilidade na presença de convecção não linear e termos de estratificação linear.

Metodologia
Os autores propõem um esquema de divisão consistente de segunda ordem baseado na abordagem de Variável Auxiliar Escalar Generalizada (GSAV). A metodologia integra vários componentes fundamentais:

1. Estrutura GSAV: Uma variável auxiliar escalar $r(t)$ é introduzida para mimetizar a lei de energia contínua do sistema. Isso permite a construção de uma energia discreta modificada que permanece incondicionalmente estável.
2. Discretização Temporal de Divisão Consistente: O esquema estende a estrutura de BDF2 (Fórmula de Diferenciação para Trás de Segunda Ordem) com deslocamento temporal desenvolvida por Huang e Shen [17] para equações de Navier–Stokes.
   • Tratamento Explícito: Convecção não linear ($u \cdot \nabla u$), advecção ($u \cdot \nabla \theta$) e acoplamentos lineares (flutuabilidade $\theta e_2$ e estratificação $\alpha v$) são tratados explicitamente usando extrapolação de segunda ordem no nível de tempo deslocado $t_{n+k}$.
   • Desacoplamento: Este tratamento explícito reduz cada passo de tempo à resolução de um pequeno número de sistemas lineares desacoplados com coeficientes constantes, evitando a necessidade de solvers não lineares ou sistemas acoplados monolíticos.
3. Correção de Pressão: Uma equação de Poisson para a pressão é resolvida usando uma abordagem de divisão consistente que mantém a precisão ótima de segunda ordem, evitando as inconsistências de condições de contorno frequentemente encontradas em métodos de projeção padrão.
4. Estabilidade e Análise de Erro: Os autores provam um teorema de estabilidade fraca incondicional e derivam estimativas de erro de segunda ordem ótimas para velocidade, pressão e temperatura. A análise rastreia rigorosamente a dependência das constantes de erro em relação à viscosidade cinemática ($\nu$) e à difusividade térmica ($\gamma$).

Principais Contribuições
O artigo apresenta três contribuições distintas em relação à literatura existente sobre esquemas do tipo SAV para sistemas de Boussinesq:

1. Análise do Sistema Perturbado: Diferente de trabalhos anteriores que analisam o sistema de Boussinesq padrão, este artigo aborda especificamente o sistema perturbado (6) contendo o termo de acoplamento de estratificação linear $\alpha v$ na equação da temperatura.
2. Integração de Estrutura: Enquanto Wagner et al. [36] aplicaram a abordagem GSAV ao sistema de Boussinesq padrão, este trabalho adota a estrutura específica de divisão consistente de segunda ordem com deslocamento temporal de Huang e Shen [17], mas retém o mecanismo de atualização GSAV padrão, garantindo precisão total de segunda ordem tanto nas equações de velocidade quanto de temperatura através da extrapolação consistente de todos os termos de acoplamento.
3. Dependência Explícita da Constante de Erro: Uma contribuição crítica é o rastreamento explícito da dependência da constante de erro em relação a $\nu^{-1}$ e $\gamma^{-1}$. A análise revela que a constante de erro contém potências negativas de viscosidade e difusividade, levando a uma dependência exponencial quadruplamente aninhada nesses parâmetros.

Resultados

• Estabilidade Teórica: O esquema é provado como incondicionalmente estável de forma fraca. As sequências da variável auxiliar e do fator de escala permanecem não negativas, e as soluções numéricas satisfazem limites uniformes independentes do tamanho do passo de tempo, desde que a constante de estabilização $C$ exceda um limiar determinado pelos termos de força.
• Convergência: Taxas de convergência de segunda ordem ótimas são estabelecidas para a velocidade, pressão e temperatura em normas apropriadas.
• Experimentos Numéricos:
  • Teste de Convergência: Uma solução manufaturada em um domínio limitado confirma a convergência teórica de segunda ordem em ambas as normas $L^2$ e $H^1$.
  • Simulação de Fluxo Estratificado: Uma simulação de longo prazo ($T=10^4$) de um fluxo estratificado com perturbações iniciais gaussianas de temperatura reproduz a dinâmica física esperada:
    • Um regime transiente de flutuabilidade onde a energia potencial converte-se em energia cinética.
    • Um regime de oscilação de onda interna com um período consistente com as previsões teóricas ($T \approx \pi\sqrt{2/\alpha}$).
    • Um regime de decaimento exponencial onde as perturbações relaxam em direção ao equilíbrio hidrostático, com taxas de decaimento consistentes com os limites analíticos derivados no Lema 2.

Significância e Limitações
O artigo afirma que o esquema proposto oferece um método computacionalmente eficiente para simular fluxos estratificados, reduzindo cada passo de tempo à resolução de sistemas lineares desacoplados enquanto mantém a precisão de segunda ordem. No entanto, os autores são modestos quanto à robustez do esquema no limite de viscosidade ou difusividade evanescentes.

A análise demonstra que a constante de erro cresce como uma exponencial quadruplamente aninhada de $\nu^{-1}$ e $\gamma^{-1}$. Consequentemente, o esquema não é robusto conforme $\nu, \gamma \to 0$. Os experimentos numéricos confirmam que, para viscosidade e difusividade térmicas pequenas, o esquema requer resoluções espaciais e temporais cada vez mais finas para permanecer estável, podendo apresentar divergência em resoluções mais grosseiras. Os autores concluem que, embora o esquema seja eficaz para regimes totalmente dissipativos, um tratamento totalmente implícito ou estabilizado dos termos de convecção seria necessário para obter limites de erro uniformes em $\nu$ e $\gamma$. Esta limitação destaca o compromisso entre a eficiência computacional da abordagem de divisão consistente explícita e sua estabilidade em regimes de baixa difusão.