Geometric mean-based pairwise comparison method with the reference values -- statistical approach

Resumo Técnico: Método de Comparação Paritária Baseado na Média Geométrica com Valores de Referência – Uma Abordagem Estatística

Definição do Problema
Métodos de comparação paritária (CP), como o Processo de Hierarquia Analítica (AHP) e o Método do Melhor-Pior (BWM), são amplamente utilizados em tomadas de decisão que envolvem julgamentos de especialistas. Embora métodos tradicionais como o Método do Autovetor (EVM) e o Método da Média Geométrica (GMM) calculem pesos de alternativas, eles frequentemente enfrentam dificuldades com dados incompletos e carecem de um arcabouço estatístico robusto para quantificar a incerteza dos rankings resultantes. As interpretações estatísticas existentes para métodos de CP concentraram-se majoritariamente em matrizes completas sem valores de referência. Consequentemente, índices de inconsistência clássicos (ex: Razão de Consistência) medem a dispersão dos julgamentos, mas não consideram a "distância de preferência" entre as alternativas. Assim, um conjunto de dados altamente inconsistente pode ainda gerar uma ordenação confiável para alternativas claramente distintas, enquanto um conjunto de dados consistente pode falhar em distinguir alternativas com pesos muito semelhantes. Há uma necessidade de um método que integre valores de referência (alternativas com pesos conhecidos) com uma abordagem estatística para avaliar a confiabilidade do vetor de pesos derivado e a probabilidade de reversões de ranking.

Metodologia
Os autores propõem uma interpretação estatística do método de Estimativa de Classificação por Heurística Geométrica (HRE), que calcula pesos para alternativas desconhecidas com base em comparações com alternativas de referência conhecidas.

1. Formulação de Regressão: O artigo demonstra que o HRE geométrico incompleto é matematicamente equivalente a um problema de regressão linear. Ao aplicar o logaritmo das razões de comparação paritária ($y_{ij} = \ln c_{ij}$) e dos pesos ($\theta_i = \ln w_i$), a relação é modelada como:
   $$y_{ij} = \theta_i - \theta_j + \epsilon_{ij}$$
   onde $\epsilon_{ij}$ representa um termo de erro aleatório assumido como sendo normalmente distribuído. Os pesos logarítmicos desconhecidos das alternativas não-referência são tratados como parâmetros do modelo a serem estimados via o método de Mínimos Quadrados Ordinários (OLS).

2. Construção da Matriz: O problema é estruturado utilizando matrizes de delineamento ($X_U$ para alternativas não-referência e $X_K$ para alternativas de referência) e um vetor de resposta derivado das comparações observadas. A solução envolve a inversão de uma matriz $L_U$ (uma submatriz do Laplaciano do grafo) para estimar os pesos logarítmicos.

3. Inferência Estatística: Uma vez estimados os pesos, o arcabouço aplica ferramentas estatísticas padrão:

   • Estimativa de Variância: A soma dos quadrados dos resíduos é utilizada para estimar a variância do erro ($\hat{\sigma}^2$).
   • Matriz de Covariância: A matriz de covariância dos estimadores é derivada como $\hat{\sigma}^2 L_U^{-1}$, permitindo o cálculo de erros padrão para os pesos individuais.
   • Intervalos de Confiança: Utilizando a distribuição $t$ de Student, intervalos de confiança são construídos para os pesos logarítmicos e transformados de volta para a escala original via exponenciação.
   • Probabilidade de Reversão de Ranking: Os autores derivam fórmulas para calcular a probabilidade de que a ordem estimada de duas alternativas ($P(a_i \prec a_j)$) esteja correta. Isso envolve o cálculo da distribuição da diferença entre dois estimadores, contabilizando sua covariância. Isso se estende a trios e conjuntos maiores de alternativas usando distribuições $t$ multivariadas.

4. Indicadores de Qualidade e Agrupamento de Empates (Tie Clustering):

   • lcPOI (Índice de Ordem Paritária de Menor Certeza): A probabilidade mínima de preservação da ordem entre todos os pares.
   • alPOI (Índice de Ordem Paritária de Verossimilhança Média): A probabilidade média de preservação da ordem.
   • Agrupamento de Empates (Tie Clustering): Um mecanismo é proposto onde alternativas com baixa probabilidade de ordem (abaixo de um limiar $\delta$) são agrupadas em "clusters de empate". Seus pesos são calculados pela média, proporcionando uma representação mais conservadora e estatisticamente honesta da classificação quando as distinções são incertas.

5. Tomada de Decisão em Grupo: O arcabouço é estendido para ambientes de grupo ao agregar comparações de múltiplos especialistas em um único conjunto de observações. Os autores sugerem uma abordagem de regressão ponderada, onde especialistas com menor variância de erro (maior confiança) recebem maior peso na agregação.

Principais Resultados e Contribuições

• Fundamentação Estatística para o HRE Geométrico: O artigo estabelece que o HRE geométrico incompleto é um problema de regressão de mínimos quadrados, fornecendo uma base estatística rigorosa para um método anteriormente definido de forma heurística.
• Medidas de Ranking Probabilísticas: A introdução de $P(a_i \prec a_j)$ permite que os tomadores de decisão avaliem a confiabilidade da ordem do ranking, não apenas as estimativas pontuais de pesos. O artigo mostra que essa probabilidade depende tanto da inconsistência dos dados quanto da magnitude da diferença entre os pesos das alternativas.
• Novos Indicadores de Qualidade: As definições de lcPOI e alPOI oferecem uma visão mais matizada da qualidade dos dados do que os índices de inconsistência tradicionais, destacando especificamente casos onde pesos semelhantes levam a classificações incertas, mesmo com baixa inconsistência.
• Mecanismo de Limiar de Empate: O algoritmo proposto para agrupar alternativas incertas em empates evita a sobreinterpretação de diferenças estatisticamente insignificantes, levando a resultados de decisão mais robustos.
• Extensão para Decisão em Grupo: A metodologia adapta-se com sucesso a cenários de múltiplos especialistas, permitindo a agregação de matrizes incompletas e o potencial de ponderar especialistas com base em sua consistência individual (variância).

Significância
O artigo afirma que sua principal contribuição é dupla: primeiro, fornece uma interpretação intuitiva da inconsistência como erro estatístico dentro do arcabouço de regressão de mínimos quadrados; segundo, introduz medidas probabilísticas para avaliar a confiabilidade dos rankings. Ao deslocar o foco de índices de inconsistência determinísticos para a preservação de ordem probabilística, a abordagem permite uma avaliação mais realista da qualidade da decisão. Ela reconhece que, mesmo com dados "ruidosos", distinções claras entre alternativas podem ser confiáveis, enquanto dados "limpos" podem falhar em distinguir opções similares. O mecanismo de agrupamento de empates proposto oferece uma solução prática para representar essas incertezas, afastando-se da precisão falsa em direção a um resultado de decisão mais interpretável e cauteloso. O arcabouço é apresentado como uma extensão coerente dos desenvolvimentos existentes de HRE, visando especificamente a avaliação da incerteza e da qualidade dos vetores de pesos derivados de dados de comparação paritária incompletos.